คือ $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2x + 1)$ isomorphic ถึง $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 1)$ หรือ $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2)$เหรอ?

Question

คือ $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2x + 1)$ isomorphic ถึง $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 1)$ หรือ $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2)$เหรอ?

ฉันคิด $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2x + 1) \not\cong \mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 1)$ เนื่องจากอดีตไม่ใช่สนามตั้งแต่ ($x^{2} + 2x + 1$) สามารถลดได้ แต่ฟิลด์หลังเป็นฟิลด์ตั้งแต่ $(x^{2}+1)$ไม่สามารถลดได้ ถูกต้องหรือไม่

แหวนวงที่สองผมไม่แน่ใจ

Answer 1

ใช่คุณพูดถูกเกี่ยวกับข้อแรก วิธีหนึ่งที่จะแสดงให้เห็นว่า$\mathbb{F}_3[x]/(x^2+2x+1) \ncong \mathbb{F}_3[x]/(x^2+2)$ คือการสังเกตว่า $(x+1)^2 = 0$ ใน $\mathbb{F}_3[x]/(x^2+2x+1)$ ในขณะที่กำลังสองขององค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ของ $\mathbb{F}_3[x]/(x^2+2)$ ไม่ใช่ศูนย์ดังนั้นจึงไม่สามารถเป็นไอโซมอร์ฟิกได้