คืออะไร $\Pr(X + Y < 0)$ ที่ไหน $X \sim U(0,1)$ และ $Y \sim N(0, 1)$เหรอ? $X$ และ $Y$ มีความเป็นอิสระ

Question

นี่คือสิ่งที่ฉันพยายามแล้ว:

\begin{align} f_X = 1 \\ f_Y = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-0.5y^2) \end{align}

จากนั้นให้ $Z = X + Y$ และเรามี

\begin{align} f_Z(z) = \int_0^1 f_X(x) f_Y(z - x) \, dx \\ f_Z(z) = \int_0^1 1 \cdot f_Y(z - x) \, dx \\ = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-0.5(x - z)^2) \, dx \end{align}

ดังนั้น \begin{align} Pr(Z \leq 0) = \int_{-\infty}^0 \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-0.5(x-z)^2) \, dx \, dz \\ = \int_{-\infty}^0 \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-0.5x^2) \exp(- 0.5z^2) \exp(0.5xz)\,dx\,dz \\ \end{align}

ดูเหมือนว่ามันจะเป็นส่วนประกอบที่น่าเบื่อในการประเมิน ฉันไม่แน่ใจว่าฉันใช้แนวทางที่ถูกต้องหรือไม่ มีวิธีที่ง่ายกว่านี้หรือไม่?

Answer 1

สมมติ $X,\,Y$ เป็นอิสระ:

เราต้องการ $Y$-เฉลี่ย $Pr(X<-Y)$ซึ่งคงที่ $Y$ คือ $0$ ถ้า $Y\ge0$, $1$ ถ้า $Y<-1$ และ $-Y$มิฉะนั้น. ค่าเฉลี่ยอยู่ที่$$\int_{-\infty}^{-1}f_Y(y)dy-\int_{-1}^0yf(y)dy=\Phi(-1)+\tfrac{1-e^{-1/2}}{\sqrt{2\pi}}\approx0.315.$$

Answer 2

เป็นข้อผิดพลาดที่ใหญ่มากในการหลีกเลี่ยงที่จะระบุว่า X และ Y เป็นอิสระ ตามที่เขียนไว้การออกกำลังกายไม่สามารถแก้ไขได้

ดังนั้นสมมติว่าเป็นอิสระก่อนอื่นให้สังเกตว่าถ้า $Y<-1$ มันเป็นความจริงเสมอ $X+Y<0$ และสิ่งนี้เกิดขึ้นพร้อมกับความน่าจะเป็น $\Phi(-1)\approx 15.87\%$

สำหรับส่วนที่เหลือเมื่อ $Y>-1$ อินทิกรัลที่ต้องแก้ไขคือ

$$\int_{-1}^{0}\phi(y)dy\int_{0}^{-y}dx=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-1}^{0}ye^{-\frac{y^2}{2}}dy=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}[e^{-\frac{y^2}{2}}]_{-1}^{0}=\frac{1-e^{-0.5}}{\sqrt{2\pi}}$$

มันคืออินทิกรัลในพื้นที่สีม่วงด้านล่าง

Answer 3

ฉันคิดว่ามันจะดีกว่าที่จะได้รับการกระจายแบบเต็ม $Z=X+Y$ใช้สูตร Convolution สำหรับ CDFs เมื่อฉันใช้ Convolution สำหรับ PDF ฉันได้รับ$$ f_Z(z) = \Phi(z)-\Phi(z-1), -\infty<z<\infty $$ซึ่งรวมเข้าด้วยกันยากมากดังนั้นฉันจึงใช้การแปลงสัญญาณสำหรับ CDF แทน ไม่ว่าถ้า$Y \sim R(0,1)$แล้ว $F_Y(y) = P(Y<y) = P(Y<z-x)$ดังนั้น: $$ F_Y(z-x)= \left\{ \begin{array}{lr} 0 & x>z\\ z-x & 0<z-x<1\\ 1 & x<z-1 \end{array} \right. $$ ดังนั้นเราสามารถละเว้น pdf ของ $X$ ถ้า $ X>z$. สำหรับกรณีที่สองเรามีขอบเขตดังต่อไปนี้:$z-1<x<z$และ CDF ของ $Y$ คือ $z-x$สำหรับกรณีที่สาม CDF ของ $Y$ คือ $1$ดังนั้นเราจึงใช้ pdf ของ $X$ สำหรับ $-\infty<x<z-1$. ตั้งแต่$-\infty <z<\infty$เราแค่รวบรวมสามกรณีนี้เข้าด้วยกัน: \begin{align} P(Z<z) &= F_Z(z) = \int_{z-1}^{z}(z-x)\varphi_X(x)dx + \Phi(z-1) \\ &= z(\Phi(z)-\Phi(z-1)) - \int_{z-1}^{z}x\varphi(x)dx + \Phi(z-1), -\infty <z< \infty \end{align} ที่ไหน $\varphi, \Phi$คือความหนาแน่นและ cdf ของการแจกแจงปกติมาตรฐาน โดยการเสียบ$z=0$คุณจะได้รับผลลัพธ์ โปรดทราบว่า CDF นี้มีเหตุผลเพราะ$$ \lim_{z \to \pm \infty} z(\Phi(z)-\Phi(z-1)) = 0 \ \ (1)\\ \lim_{z\to \infty} \int_{z-1}^{z}x\varphi(x)dx = 0 \ \ (2)\\ \lim_{z \to \infty} F_Z(z) = 1\\ \lim_{z \to -\infty} F_Z(z) = 0 $$ ที่นี่ทั้ง (1) และ (2) สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ขอบเขตบนและล่าง $z$ และ $x$สำหรับช่วงเวลาที่สอดคล้องกันแล้วรับขีด จำกัด โปรดทราบด้วย$z-x$เป็นบวกเสมอดังนั้นการแสดงออกทั้งหมดจึงเป็นบวกเสมอ ตอนนี้หาอนุพันธ์ WRt$z$ (ระวังป้าย) เพื่อรับ $$ f_Z(z) = \Phi(z) - \Phi(z-1), \ -\infty <z< \infty $$ ตรวจสอบขีด จำกัด ด้วย