ความหมายของการเชื่อมต่อและสัญชาตญาณ

Question

เราว่าพื้นที่ทอพอโลยี $X$ที่จะเชื่อมต่อหากไม่สามารถเขียนเป็นสหภาพที่ไม่ปะติดปะต่อกันของสองส่วนย่อยที่เปิดอยู่ที่ไม่ว่างเปล่า ความเชื่อมโยงโดยสัญชาตญาณหมายถึงพื้นที่โทโพโลยีของเราเป็นชิ้นส่วนเดียวฉันไม่สามารถเห็นได้ว่าคำจำกัดความข้างต้นจับสัญชาตญาณอย่างไร กรุณาช่วย.

Answer 1

ถ้าว่างแน่นอน $X$ การมีสองจุดขึ้นไปสามารถเขียนเป็น $A \cup B$กับ $A,B$ไม่ปะติดปะต่อและไม่ว่างเปล่าในหลายๆ วิธี แต่การถูกตัดการเชื่อมต่อหมายความว่ามีวิธีที่จะทำเช่นนั้นโดยที่ไม่มีจุดหมาย$A$ "ใกล้เคียง" $B$ และไม่มีประเด็น $B$ "ใกล้เคียง" $A$. การอยู่ใกล้จะถูกทำให้เป็นทางการในโทโพโลยีโดยการปิด เรียกช่องว่าง$X$ ตัดการเชื่อมต่อเมื่อเราสามารถเขียนเป็นไฟล์ $A \cup B$ทั้งสองชุดไม่ว่างและเป็นเช่นนั้น $\overline{A} \cap B = \emptyset$ (ไม่มีประเด็น $B$ อยู่ใกล้กับ $A$) และ $A \cap \overline{B} = \emptyset$ (ไม่มีประเด็น $A$ อยู่ใกล้กับ $B$). แต่โดยนัยนี้$$X\setminus B= A \subseteq \overline{A} \subseteq X\setminus B$$ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง $A=\overline{A}$ และ $A$ถูกปิด. สมมาตร,$B$ ก็ปิดเช่นกันและ $A$ และ $B$ เป็นส่วนเติมเต็มของกันและกัน $A$ และ $B$ เปิดอยู่ด้วย (ซึ่งคุณสามารถดูได้ดังต่อไปนี้เช่นถ้า $x \in A$ ไม่ใช่จุดภายในของ $A$ทุกย่านของ $x$ จะมี$A$ คะแนนดังนั้นคะแนนของ $B$, เช่น $A\cup B=X$. และถ้าทุกย่านของ$x$ ตัดกัน $B$, $x \in \overline{B}$แต่เราคิดว่าไม่มีประเด็น $x$ ของ $A$ อยู่ใกล้กับ $B$... )

ดังนั้นเราจึงอยู่ที่คำจำกัดความของคำถามโดยเรียกช่องว่างที่ไม่มีการเชื่อมต่อในแง่นี้ว่า "connected" ในความเป็นจริงเทียบเท่ากับการถามในคำจำกัดความการตัดการเชื่อมต่อสำหรับชิ้นส่วนที่เปิดพร้อมกันชิ้นส่วนที่ปิดพร้อมกันหรือส่วนที่ "แยกออกจากกัน" (เป็นคำจำกัดความแรก)

Answer 2

หากคุณตัดชุดที่เชื่อมต่อออกเป็นสองชิ้นจากนั้นที่ไซต์ของการตัดหนึ่งในสองชิ้นจะ "เปิด" ในขณะที่อีกชิ้นจะ "ปิด" ตัวอย่างเช่นหากคุณตัดเส้นจริงออกเป็นสองส่วนที่จุด$a\in\mathbb R$คุณจะได้รับสองชิ้น $(-\infty,a],(a,\infty)$, หรือ $(-\infty,a),[a,\infty)$. อย่างน้อยหนึ่งในนั้นมีขอบเขตปิดที่$a$. จุดที่เป็นของการตัดจะต้องรวมอยู่ในหนึ่งในสองชิ้นและชิ้นส่วนนั้นจะมีจุดตัดเป็นจุดกำหนดขอบเขต ในทำนองเดียวกันสำหรับช่องว่างที่ซับซ้อนมากขึ้น: เส้นที่เราตัดจะต้องกระจายออกเป็นสองส่วนทำให้มีขอบเขตทำให้ไม่เปิดออก

แน่นอนว่าเราไม่จำเป็นต้องตัดตามเส้น / ระนาบ / อะไรก็ตาม แต่เป็นกรณีที่สัญชาตญาณชัดเจนที่สุดในทันที