ความโค้งของอวกาศใกล้หลุมดำ
(นักทฤษฎีที่เข้มงวดจะต้องให้อภัยวลีของฉันเกี่ยวกับคำถามนี้ฉันยังใหม่กับ GR และการฝึกฟิสิกส์ส่วนใหญ่ของฉันอยู่ในกลศาสตร์ควอนตัม)
ในเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดเราสามารถพูดถึงพื้นที่ทรงกลมได้เช่นเดียวกับพื้นที่โค้งที่อยู่ภายใน ในพื้นที่ทรงกลมเส้น "ขนาน" จะมาบรรจบกันที่จุดหนึ่ง ฉันอ่านในวิกิพีเดียว่า“ โทโพโลยีของขอบฟ้าเหตุการณ์ของหลุมดำที่สมดุลนั้นเป็นทรงกลมเสมอ”
เป็นคำกล่าวที่ถูกต้องหรือไม่ที่จะอ้างว่าช่องว่างรอบหลุมดำเป็นทรงกลมและการบรรจบกันของ "เส้นขนาน" จะบรรจบกันที่จุดใดจุดหนึ่งภายในขอบฟ้าเหตุการณ์ หากไม่เป็นเช่นนั้นเราสามารถจำแนกช่องว่างรอบ ๆ เอกฐานเป็นไฮเปอร์โบลิกทรงกลมหรืออย่างอื่นได้หรือไม่?
ลิงค์ด้านล่าง:
https://en.wikipedia.org/wiki/Black_hole#Event_horizon
คำตอบ
ฉันไม่คิดว่ามันจะถูกต้องหากจะอธิบายกาลอวกาศใกล้หลุมดำว่าเป็น "ทรงกลม" ประการหนึ่งความโค้งของอวกาศจะเปลี่ยนไปขึ้นอยู่กับว่าคุณอยู่ใกล้หลุมดำแค่ไหน สำหรับทรงกลมความโค้งเป็นค่าคงที่และไม่แปรผันตามตำแหน่ง นอกจากนี้คุณต้องมีจำนวนจริงมากกว่าหนึ่งตัวเพื่อระบุความโค้งของปริภูมิ - เวลาที่มีขนาดสูงกว่า 2 (เนื่องจากคุณอาจมีช่องว่างที่มุมของสามเหลี่ยมที่มุ่งไปในทิศทางเดียวรวมกันได้น้อยกว่า 180 องศา แต่มุมของสามเหลี่ยมที่มุ่งไปในทิศทางที่แตกต่างกันจะรวมกันได้มากกว่า 180 องศา) นอกจากนี้สนามโน้มถ่วงของหลุมดำยังขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่ากาลอวกาศมีความโค้งเป็นส่วนใหญ่ไม่ใช่แค่ความโค้งเชิงพื้นที่
คุณอาจยังคงสามารถจำแนกความโค้งของกาลอวกาศได้ตามสัญญาณของส่วนประกอบต่างๆของเทนเซอร์ความโค้ง แต่การจำแนกจะซับซ้อนกว่าทรงกลมเทียบกับแบนเทียบกับไฮเพอร์โบลิก
ฉันอ่านในวิกิพีเดียว่า“ โทโพโลยีของขอบฟ้าเหตุการณ์ของหลุมดำที่สมดุลนั้นเป็นทรงกลมเสมอ”
คำตอบนี้จะให้ความกระจ่างว่าข้อความนั้นหมายถึงอะไร หมายความว่าถ้าเราเริ่มต้นด้วยหลุมดำใด ๆ ในกาลอวกาศ 4 มิติจากนั้นให้พิจารณาขอบฟ้าเป็นท่อร่วม 3 มิติด้วยตัวมันเองท่อร่วมนี้จะมีโทโพโลยี$S^2\times \mathbb{R}$, ที่ไหน $S^2$ เป็นสองทรงกลม (พื้นผิวของลูกบอล) และ $\mathbb{R}$เป็นเส้น เป็นคำชี้แจงเกี่ยวกับโทโพโลยีไม่ใช่เกี่ยวกับเรขาคณิต โดยเฉพาะอย่างยิ่งข้อความกล่าวว่า (แทบ) ไม่มีอะไรเกี่ยวกับ geodesics (หรือเส้นขนาน)
อย่างไรก็ตามคำสั่งนั้นเฉพาะสำหรับหลุมดำในกาลอวกาศ 4 มิติ ในกาลอวกาศ 5d หลุมดำสามารถมีขอบฟ้าเหตุการณ์ที่มีโทโพโลยีที่ไม่ใช่ทรงกลม
ตัวอย่าง
พิจารณาเมตริก Schwarzschild ในกาลอวกาศ 4 มิติ องค์ประกอบของเส้นสำหรับเส้นรอบโลกแบบเว้นวรรคคือ$$ ds^2 = -A(r) dt^2 + \frac{dr^2}{A(r)}+r^2d\Omega^2 \tag{1} $$ ที่ไหน $A(r)$ไปที่ศูนย์บนขอบฟ้า สัญกรณ์$d\Omega^2$ เป็นคำย่อของส่วนพิกัดทรงกลม: โดยไม่มีปัจจัยของ $A$การรวมกัน ${dr^2}+r^2d\Omega^2$จะเป็นองค์ประกอบเส้นของปริภูมิยูคลิด 3 มิติแบนในพิกัดทรงกลม ค่าคงที่ของ$r$กำหนด submanifold 3 มิติของกาลอวกาศ 4d ถ้า$A(r)\neq 0$เมตริกที่เกิดจากท่อร่วมนี้คือ $$ ds^2 = -A(r) dt^2 +r^2d\Omega^2 \tag{2} $$ ตอนนี้ $r$ และ $A(r)$คือค่าคงที่ นี่คือเมตริกมาตรฐานบน$S^2\times\mathbb{R}$โดยที่ปัจจัย $\mathbb{R}$ บัญชีสำหรับพิกัดพิเศษ $t$. บนขอบฟ้าเรามี$A(r)=0$และสมการ (1) ไม่สมเหตุสมผล นานาเรียบยังคงทำให้รู้สึกมี แต่ส่วนประกอบของตัวชี้วัดไม่ได้ เราสามารถแก้ไขปัญหานี้ได้สองวิธี:
ใช้ $r$ใกล้เคียงกับค่านี้โดยพลการ ดีพอที่จะดูว่าโทโพโลยีของไฟล์$A(r)=0$มากมายจะเป็น สมการ (1) บอกว่า$dt^2$หายไปบนขอบฟ้าซึ่งสอดคล้องกับความจริงที่ว่าขอบฟ้าเป็นไฮเปอร์เซอร์พื้นผิวว่าง : การกระจัดใน$t$- ทิศทางเหมือนแสง (มีความยาวเป็นศูนย์)
ยิ่งไปกว่านั้นเราสามารถใช้ระบบพิกัดอื่นเพื่อให้เมตริก 4d ถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจนบนขอบฟ้า ในพิกัด Kerr-Schildเมตริก Schwarzschild มีแบบฟอร์ม$$ ds^2 = -dt^2+dr^2+r^2d\Omega^2 + V(r)(dt+dr)^2 \tag{3} $$ ที่ไหน $V(r)$ มีการกำหนดไว้อย่างชัดเจนทุกที่ยกเว้นที่ $r=0$. เส้นขอบฟ้าสอดคล้องกับ$V(r)=1$, ที่ไหน $dt^2$ระยะหายไป การตั้งค่า$r$ เท่ากับค่าพิเศษนี้ให้เมตริกที่เกิดขึ้น $$ ds^2 = r^2d\Omega^2. \tag{4} $$ นี่คือเมตริกมาตรฐานบน $S^2$แต่จริงๆแล้วโทโพโลยีนั้น $S^2\times\mathbb{R}$, ที่ไหน $\mathbb{R}$ บัญชีปัจจัยสำหรับ $t$- ประสานงาน ไม่มี$dt^2$ เทอมใน (4) เนื่องจากขอบฟ้าเป็นไฮเปอร์เซอร์พื้นผิวว่าง: การกระจัดใน $t$- ทิศทางมีความยาวเป็นศูนย์ นี่เป็นข้อสรุปเดียวกับที่เราเคยไปถึงก่อนหน้านี้ แต่ตอนนี้เราได้มาถึงตรงจุดนี้มากขึ้นเนื่องจากเมตริก (3) ถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจนบนขอบฟ้า