ความน่าจะเป็นในการเลือกมือโป๊กเกอร์
ฉันกำลังพยายามแก้ปัญหาความน่าจะเป็นเกี่ยวกับไพ่โป๊กเกอร์ห้าใบ ฉันสามารถเข้าถึงคำตอบที่แตกต่างจากที่ฉันคิดไว้ คำถามคือ:What is the probability that a five-card poker hand has exactly two cards of same value, but no other cards duplicated?
คำตอบของฉันสำหรับคำถามนี้มีดังนี้: $\binom{13}{1} \binom{4}{2} \binom{48}{1}\binom{44}{1} \binom{40}{1}$. ซึ่งหมายความว่า:
- ก่อนอื่นให้เลือกหมายเลขบัตรจากนั้นเลือกสองชุดคือ $\binom{13}{1} \binom{4}{2}$. ซึ่งจะเป็นไพ่สองใบที่มีมูลค่าเท่ากัน
- เลือกไพ่อื่น ๆ อีกสามใบที่ไม่ซ้ำกัน: $\binom{48}{1}\binom{44}{1} \binom{40}{1}$.
คำตอบที่ถูกต้องไม่ตรงกับคำตอบของฉัน คำตอบนี้มีอยู่ในหนังสือ AOPS และเป็นดังนี้:$\binom{13}{1} \binom{4}{2}\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$.
คำถามคือฉันทำอะไรผิด? ขอบคุณ
คำตอบ
ตามกฎของผลิตภัณฑ์หลังจากหมายเลขบัตรแรกที่เลือกและสองชุดเราจำเป็นต้องเลือก$3$ การ์ดที่มี $3$ ค่าต่างๆนั่นคือ $\binom{12}{3}$ จากนั้นเราสามารถเลือกชุดสูทได้สี่ชุดสำหรับแต่ละคน $\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$. ตามวิธีการของคุณการเลือก$\binom{48}{1}$ และอีกสองอย่างที่ตามมานั้นผิดเพราะคุณนับจำนวนมากเกินไป (เช่น $3,5,8$ จะแตกต่างจาก $5,3,8$). ดังนั้นในการนับคุณต้องหารด้วย$3!=6$.
วิธีแก้ปัญหาของหนังสือของคุณถูกต้อง ให้ 'อธิบายการระดมความคิดที่ถูกต้อง
เพื่อให้ได้หนึ่งคู่ที่ยอดเยี่ยมในการจับ 5 ครั้งคุณมี:
13 ตัวเลือกให้เลือกคู่ {AA, 22,33, ... }
สำหรับแต่ละคู่ที่คุณมี $\binom{4}{2}$ ทางเลือกในการเลือกชุด: หัวใจเพชรไม้กอล์ฟหรือโพดำ
สำหรับ 3 เสมอที่เหลือที่คุณมี $\binom{12}{3}$ ทางเลือกของการ์ดที่แตกต่างกัน
สำหรับตัวเลือก prevoius แต่ละตัวที่คุณมี $4^3$ ทางเลือกสำหรับชุดสูท: หัวใจเพชรไม้กอล์ฟหรือโพดำ
คูณคะแนน prevoius ทั้งหมดที่ได้รับ
$$13\times\binom{4}{2}\times\binom{12}{3}\times4^3$$
สมมติว่าคุณเลือกมือ $7\heartsuit, 7\spadesuit, 5\clubsuit, 9\diamondsuit, J\spadesuit$. วิธีการของคุณนับมือนี้$3! = 6$ ครั้งขึ้นอยู่กับลำดับที่คุณเลือกเสื้อกล้ามสามตัว
ลำดับในการเลือกเสื้อกล้ามทั้งสามไม่สำคัญด้วยเหตุนี้คำตอบที่ถูกต้องจึงเลือกสามอันดับจากการดึงไพ่ใบเดียวจากนั้นจึงเลือกไพ่หนึ่งใบจากแต่ละอันดับ
สังเกตว่า $$\frac{1}{6}\binom{13}{1}\binom{4}{2}\binom{48}{1}\binom{44}{1}\binom{40}{1} = \binom{13}{1}\binom{4}{2}\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$$
จำนวนกรณีที่เป็นไปได้: $ c_p = \binom{52}{5} $.
จำนวนกรณีที่น่าพอใจ:
เลือกชุดการ์ดแรก: $ \binom{13}{1} \binom{4}{2} $.
โปรดทราบว่าทวินามแรกใช้เพื่อเลือกหมายเลขบัตรและอันที่สองเพื่อเลือกสัญลักษณ์สองตัวจากสี่สัญลักษณ์
เลือกชุดการ์ดที่แตกต่างกันสามชุด: $ \binom{12}{3} \binom{4}{1}^3 $ สังเกตว่าทวินามใบแรกใช้ในการเลือกไพ่สามใบและใบที่สองจะเลือกเพียงสัญลักษณ์เดียวสำหรับไพ่สามใบแต่ละใบ
ผลลัพธ์: $$ p = \frac{\binom{13}{1} \binom{4}{2} \binom{12}{3} \binom{4}{1}^3}{\binom{52}{5}}. $$
ในโซลูชันของคุณทวินามสามรายการสุดท้ายอาจให้ชุดไพ่ที่เหมือนกันสามใบเนื่องจากคุณเพียงแค่เลือกไพ่ไม่ใช่สัญลักษณ์
คุณและหนังสือจะนับวิธีเลือกไพ่ที่เหลือสามใบต่างกัน คำตอบของคุณคือ:$$ \binom{48}{1}\binom{44}{1} \binom{40}{1} = 48 \cdot 44 \cdot 40 = 4^3 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10$$ คำตอบของหนังสือคือ: $$\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1} = 4^3 \cdot \frac{12\cdot 11\cdot 10}{3!}$$ พวกเขาแตกต่างกันโดย $3!$ปัจจัยซึ่งเป็นจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุสามอย่างที่แตกต่างกันอย่างแม่นยำ สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าคุณกำลังพิจารณาลำดับของไพ่ที่เหลือทั้งสามใบ