ความสับสนเกี่ยวกับคำศัพท์ Yoneda

Aug 18 2020

ปล่อย $C$ เป็นหมวดหมู่และ $F$ presheaf บน $C$. คำย่อ Yoneda ระบุว่าการเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติ$C(-, A)\Rightarrow F$ อยู่ในการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับองค์ประกอบของ $F(A)$.

สำหรับฉันแล้วคำพูดนี้ไม่ได้รับการกระตุ้น ฉันรู้ว่าหากเราพิจารณาเป็นกรณีพิเศษ$F=C(-, B)$จากนั้น (โดยคำย่อ Yoneda) $C(-, -)$ ให้การฝัง (นั่นคือ functor ที่สมบูรณ์และซื่อสัตย์) ของ $C$ ในหมวดของ presheaves บน $C$. สิ่งนี้ให้ความรู้สึกค่อนข้างมีแรงจูงใจตั้งแต่การฝัง$C$ ในหมวดของ presheaves บน $C$ ให้ความรู้สึกเหมือนการฝังฟิลด์ $k$ ในการปิดพีชคณิต $\bar{k}$. นอกจากนี้หมวดของ Presheaves ยังให้ความรู้สึกเป็นรูปธรรมมากกว่าหมวดนามธรรม$C$.

แต่ทำไมคนหนึ่งถึงสนใจในคำแถลงทั่วไปที่ $F$สามารถเป็น presheaf ใด ๆ ก็ได้ เหตุใดจึงเป็นคำพูดที่เป็นธรรมชาติ มีแนวคิดอย่างไรในการพิจารณาคำย่อของ Yoneda ตามที่ระบุไว้ข้างต้น

ฉันยังมีคำถามอื่นเกี่ยวกับคำศัพท์ Yoneda อย่างที่บอกมีการฝัง$C$ เป็น $[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$ (หมวดของ presheaves บน $C$). โดยพิจารณาจาก functors covariant$C\to\mathbf{Sets}$ แทนที่จะเป็น presheaves เรายังสามารถพิสูจน์อักษรย่อของ Yoneda รุ่น covariant ซึ่งระบุว่าการเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติ $C(A, -)\Rightarrow F$ (สำหรับ $F\colon C\to \mathbf{Sets}$ functor ใด ๆ ) อยู่ในการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับองค์ประกอบของ $F(A)$. จากสิ่งนี้จะได้รับการฝัง$C$ เป็น $[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}$.

สรุปคือเราสามารถฝังได้ $C$ เป็นทั้งสองอย่าง $[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$ และ $[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}$. คำถาม: ทำอย่างไร$[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$ และ $[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}$ เกี่ยวกัน?

สิ่งที่ฉันรู้สึกแปลก ๆ เกี่ยวกับสถานการณ์: ตอนแรกฉันคาดไว้ $[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$ และ $[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}$จะเทียบเท่า แต่ข้อเท็จจริงทั่วไปก็คือ$$[C, D]^\text{op}\cong [C^\text{op}, D^\text{op}],$$ ดังนั้น $$[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}\cong[C^\text{op}, \mathbf{Sets}^\text{op}],$$ ซึ่งไม่ใช่ $[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$.

คำตอบ

3 jgon Aug 18 2020 at 01:09

นี่คือคำตอบที่เป็นไปได้สำหรับคำถามนี้

ลองมาดูกันว่า functors เป็นตัวแทนของหมวดหมู่

ประการแรกทำไมสิ่งนี้จึงสมเหตุสมผล?

โปรดจำไว้ว่าหมวดหมู่เป็นลักษณะทั่วไปของ monoids (และตามมาด้วยการจัดกลุ่มเช่นกัน) เนื่องจากประเภทวัตถุหนึ่งเป็นสิ่งเดียวกับ monoid ถ้า$M$ เป็น monoid จากนั้นเราสามารถกำหนดหมวดหมู่ $C$กับวัตถุชิ้นเดียว $*$, ชุดโฮม $C(*,*)=M$และหน่วยและองค์ประกอบที่กำหนดโดยหน่วยและการคูณใน $M$. ในทางกลับกันให้หมวดหมู่วัตถุหนึ่งรายการ$C$, $C(*,*)$ เป็น monoid ที่มีองค์ประกอบเป็นตัวคูณและโครงสร้างเหล่านี้ผกผันซึ่งกันและกัน

จากนี้ไปถ้า $M$ เป็น monoid หรือ $G$ เป็นกลุ่มฉันจะเขียน $BM$ หรือ $BG$ สำหรับหมวดหมู่วัตถุเดียวที่เกี่ยวข้อง

แล้ว functors ล่ะ? functors คืออะไร$[BG,k\newcommand\Vect{\text{-}\mathbf{Vect}}\Vect]$เหรอ?

เราต้องเลือกสเปซเวกเตอร์ $V$ ส่ง $*$ ถึงและเราจำเป็นต้องเลือก homomorphism แบบโมโนนอยด์ $G\to \newcommand\End{\operatorname{End}}\End V$. ตั้งแต่$G$ เป็นกลุ่มซึ่งเทียบเท่ากับกลุ่ม homomorphism $G\to \operatorname{GL}(V)$. กล่าวอีกนัยหนึ่ง functors จาก$BG$ ถึง $k\Vect$ เหมือนกับการแสดงกลุ่มเชิงเส้นทุกประการและคุณสามารถตรวจสอบได้ว่าการเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติของ functors นั้นสอดคล้องกับ $G$- แผนที่เชิงเส้นที่ชัดเจน

ในทำนองเดียวกันเมื่อเราแทนที่ $k\Vect$ ด้วย $\newcommand\Ab{\mathbf{Ab}}\Ab$, หรือ $\newcommand\Set{\mathbf{Set}}\Set$, เราได้รับ $G$- โมดูลและ $G$- ชุดตามลำดับ

โดยเฉพาะสิ่งเหล่านี้เหลืออยู่ทั้งหมด $G$- การกระทำตั้งแต่ functor $F:BG\to \Set$ ต้องรักษาองค์ประกอบไว้ดังนั้น $F(gh)=F(g)F(h)$และเรากำหนด $g\cdot x$ โดย $F(g)(x)$. ด้วยประการฉะนี้$(gh)\cdot x = g\cdot (h\cdot x))$.

functor ที่แตกต่างกัน $\newcommand\op{\text{op}}BG^\op\to \Set$ ให้สิทธิ $G$- การกระทำตั้งแต่ตอนนี้ $F(gh)=F(h)F(g)$ดังนั้นถ้าเรากำหนด $x\cdot g = F(g)(x)$แล้วเราก็มี $$x\cdot (gh) =F(gh)(x) = F(h)F(g)x = F(h)(x\cdot g) = (x\cdot g)\cdot h.$$

ดังนั้นเราจึงควรคิดถึง functors ที่เป็นโควาเรีย $[C,\Set]$ ด้านซ้าย $C$- การดำเนินการใน $\Set$และเราควรคิดถึง functors ที่แตกต่างกัน $[C^\op,\Set]$ อย่างถูกต้อง $C$- การดำเนินการใน $\Set$.

Yoneda Lemma ในบริบท

ปัจจุบัน Presheaves ที่เป็นตัวแทนจะสอดคล้องกับวัตถุอิสระในตัวแปรเดียวในความหมายต่อไปนี้

Yoneda lemma คือเรามี isomorphism ตามธรรมชาติ $$ [C^\op,\Set](C(-,A),F)\simeq F(A)\simeq \Set(*,F(A)). $$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง $C(-,A)$ ดูเหมือนว่าทางซ้ายจะติดกับ functor "ขี้ลืม" ที่ส่ง presheaf $F$ ถึงการประเมินที่ $A$, $F(A)$แต่ประเมินในชุดซิงเกิลตัน $*$.

ในความเป็นจริงเราสามารถเปิด $C(-,A)$ เข้าทางซ้ายแบบเต็มโดยสังเกตว่า $$\Set(S,F(A)) \simeq \prod_{s\in S} F(A) \simeq \prod_{s\in S}[C^\op,\Set](C(-,A),F) \simeq [C^\op,\Set](\coprod_{s\in S} C(-,A), F),$$ และ $\coprod_{s\in S} C(-,A)\simeq S\times C(-,A)$.

ดังนั้นวิธีหนึ่งในการระบุศัพท์ Yoneda ก็คือ $S\mapsto S\times C(-,A)$ เหลือติดการประเมินที่ $A$functor (ในแง่ที่ว่าทั้งสองคำสั่งนั้นเทียบเท่ากันผ่านการพิสูจน์สั้น ๆ ) นอกจากนี้ยังมีการปรับสิทธิในการประเมินที่$A$functor ดูที่นี่สำหรับอาร์กิวเมนต์

เกี่ยวกับเรื่องนี้กลับไปสู่แนวคิดที่คุ้นเคยมากขึ้น

สิ่งแรกที่ต้องสังเกตในมุมมองนี้คือตอนนี้เรามีแนวคิดเรื่อง "อิสระในวัตถุ" มากกว่า "ฟรี" คือผมมักจะนึกถึง$C(-,A)$ ในฐานะที่เป็น presheaf อิสระในตัวแปรเดียวบน $A$ (นี่ไม่ใช่คำศัพท์มาตรฐาน แต่ฉันคิดยังไง)

ตอนนี้เราควรจะระมัดระวังวัตถุฟรีไม่ได้เป็นเพียงวัตถุที่มันเป็นวัตถุและพื้นฐาน ในกรณีนี้พื้นฐานของเรา (องค์ประกอบที่สร้าง presheaf อย่างอิสระ) คือองค์ประกอบประจำตัว$1_A$.

เมื่อคิดอย่างนี้แล้วการพิสูจน์อักษรย่อของ Yoneda น่าจะเข้าใจง่ายขึ้น ท้ายที่สุดการพิสูจน์อักษรย่อของ Yoneda มีดังต่อไปนี้:

$C(-,A)$ สร้างขึ้นโดย $1_A$, ตั้งแต่ $f^*1_A=f$สำหรับใด ๆ $f\in C(B,A)$การเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติดังนั้น $C(-,A)$ ถึง $F$ ถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกันโดยที่ที่พวกเขาส่ง $1_A$. (คล้ายกับคำพูด$1_A$ ครอบคลุม $C(-,A)$). นอกจากนี้ทางเลือกใด ๆ$\alpha\in F(A)$ ส่งที่ไหน $1_A$ ถูกต้องเนื่องจากเราสามารถกำหนดการเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติได้โดย "การขยายเชิงเส้น" $f=f^*1_A \mapsto f^*\alpha$ (นี่คล้ายกับการพูด $1_A$ เป็นอิสระเชิงเส้นหรือเป็นพื้นฐาน)

Yoneda lemma เวอร์ชัน covariant เป็นแนวคิดเดียวกันทุกประการยกเว้นว่าตอนนี้เรากำลังดำเนินการกับการนำเสนอด้านซ้ายของหมวดหมู่ของเรา

ตัวอย่างศัพท์ Yoneda ในบริบทที่คุ้นเคยมากขึ้น

พิจารณาประเภทออบเจ็กต์เดียว $BG$จากนั้นคำย่อ Yoneda กล่าวว่าการแสดงปกติที่ถูกต้องของ $G$ เป็นสิทธิฟรี $G$- ตั้งค่าในตัวแปรเดียว (โดยมีองค์ประกอบพื้นฐานเป็นเอกลักษณ์ $1_G$). (ฟรีหนึ่งใน$n$- ตัวแปรคือสหภาพที่ไม่ปะติดปะต่อกันของ $n$ สำเนาของการแสดงปกติที่ถูกต้อง)

ตอนนี้คำสั่งฝังอยู่ที่ $G$ สามารถฝังลงในไฟล์ $\operatorname{Sym}(G)$ ผ่าน $g\mapsto -\cdot g$.

นอกจากนี้ยังทำงานในบริบทที่สมบูรณ์ แหวนเป็นหมวดหมู่วัตถุชนิดหนึ่งที่ประกอบขึ้นอย่างแม่นยำในกลุ่มอาเบเลียนและศัพท์ Yoneda ในบริบทนี้กล่าวว่าการกระทำที่ถูกต้องของ$R$ ในตัวมันเอง (มักแสดง $R_R$) เป็นสิทธิฟรี $R$- โมดูลในตัวแปรเดียวโดยมีพื้นฐานเป็นองค์ประกอบของหน่วย $1_R$. (ฟรีหนึ่งใน$n$- ตัวแปรคือผลรวมโดยตรงของ $n$ สำเนาของ $R_R$)

คำสั่งฝังที่นี่คือที่ $R$ สามารถฝังลงในวงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึมของกลุ่มอะเบลเลียนที่อยู่เบื้องหลังผ่าน $r\mapsto (-\cdot r)$.