ความสอดคล้องระหว่างพีชคณิตตัวดำเนินการจุดยอดของนักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ (VOA)

Aug 15 2020

ผมมีข้อสงสัยความคิดบางอย่างที่จะชัดเจนขึ้นในแง่ของการปะติดปะต่อสิ่งที่เราเรียนรู้จากผู้ประกอบการยอดพีชคณิต (VOA) ในทฤษฎีสนามมาตราส่วนและวิธีการที่กำหนดโดยนักคณิตศาสตร์กล่าวว่าจากหนังสือ Kac ของ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง:

  • เนื่องจากการติดต่อกันของรัฐเราสามารถคิดได้อย่างเท่าเทียมกัน $V$ เป็นพื้นที่ทุ่งนาแทนที่จะเป็นพื้นที่ของรัฐ?
  • ถ้าเรามี $a,b \in V$และเราต้องการที่จะพบว่า $a_{-1}b$ในสัญกรณ์ฟิสิกส์สิ่งนี้จะเทียบเท่ากับอะไรได้อย่างแม่นยำ?
  • ฉันถือว่าสถานะว่างเปล่า $v \in V$ เป็นเช่นนั้นสำหรับบรรทัดฐานที่เหมาะสม $||v|| = 0$ อย่างไรก็ตาม $V$ ไม่ได้ถูกนำไปเป็นช่องว่างที่เป็นบรรทัดฐานในสัจพจน์ของ VOA ดังนั้นสถานะว่างถูกกำหนดในบริบทนี้อย่างไร?

คำตอบ

3 SylvainRibault Aug 18 2020 at 01:53
  • ใช่.

  • ในกรณีของพีชคณิต Virasoro เรามีการสลายตัวของโหมด $T(y)=\sum_{n\in\mathbb{Z}} \frac{L_n}{(y-z)^{n+2}}$ดังนั้น $(L_{-1}T)(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_z dy\ T(y)T(z)$.

  • ไม่จำเป็นต้องมีบรรทัดฐานสำหรับกำหนดสถานะว่าง ในกรณีของพีชคณิต Virasoro สถานะว่างคือสถานะที่ถูกฆ่าโดยโหมดการทำลายล้าง$L_{n>0}$ในขณะที่ยังเป็นรัฐลูกหลาน