ความแตกต่างระหว่างพจน์ที่ต่อเนื่องกันของลำดับที่เพิ่มขึ้นซึ่งประกอบด้วยจำนวนเต็มบวกซึ่งประกอบด้วยปริมานจำนวนมาก

Question

สมมติว่า $\{x_n\}$ คือลำดับที่เพิ่มขึ้นซึ่งองค์ประกอบเป็นจำนวนเต็มบวกซึ่งประกอบด้วยปริมานจำนวนมาก $p_1, \dots, p_s$. ฉันต้องการตรวจสอบขีด จำกัด ต่อไปนี้$$ \lim_{n\to\infty}x_{n+1}-x_{n}=\infty. $$ ฉันได้อ่านผลลัพธ์ที่ให้ขอบเขตล่างสำหรับความแตกต่างระหว่างคำที่ติดต่อกันของ $\{x_n\}$ในวรรณคดี ผลลัพธ์นี้หมายความว่าความแตกต่างระหว่างคำที่ติดต่อกันแตกต่างกัน อย่างไรก็ตามฉันสามารถแสดงให้เห็นเป็นองค์ประกอบได้หรือไม่ว่าขีด จำกัด ข้างต้นนั้นไม่มีที่สิ้นสุด

Answer 1

คำตอบนี้จาก Felipe Volochบน mathoverflow.net เกี่ยวข้อง:

ใช่มันเป็นความจริงที่ว่าสมการประเภทนี้ ax + by = c โดยที่ a, b, c ไม่เป็นศูนย์และคงที่และ x, y ได้รับอนุญาตให้มีเฉพาะปัจจัยเฉพาะในเซต จำกัด มีเพียงคำตอบที่แน่นอนเท่านั้น นี่เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทของซีเกลเกี่ยวกับจุดอินทิกรัลบนเส้นโค้ง

เลือก $a=1$ และ $b=-1$, ดังนั้น $x-y=c$ มีเพียงวิธีแก้ปัญหามากมายสำหรับทุกอย่าง $c$. จึงมี แต่ฟินหลายคู่$x,y$ ด้วย $|x-y|<M$ สำหรับสิ่งที่กำหนด $M$.

น่าเสียดายที่ทฤษฎีบทของซีเกลไม่ได้หมายความว่าระดับประถมศึกษา ฉันสงสัยว่าไม่มีหลักฐานเบื้องต้น