ข้อ จำกัด ภายใต้ $\rho(x, y) = |x - y|^d$ ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม

Question

เป็นไปได้หรือไม่ที่จะพิสูจน์โดยวิธีพีชคณิตล้วนๆ $\rho(x, y) = |x - y|^d$ ไม่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม $\rho(x, y) \leq \rho(x, z) + \rho(z, y)$ สำหรับ $d = 2$เหรอ? และภายใต้ข้อ จำกัด ในเรื่องใด$x, y, z$มันตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันหรือไม่? ฉันพยายามที่จะดูว่าทำไม$\rho$ ไม่สามารถเป็นเมตริกที่ถูกต้องบน $\mathbb R$.

คำถามโบนัส: สำหรับค่าอื่น ๆ $d \in \mathbb R$ ทำ $\rho$ ไม่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม

Answer 1

อสมการเทียบเท่ากับ $(a+b)^{d} \leq a^{d}+b^{d}$ สำหรับ $a, b \geq 0$. การใส่$a=b=1$ เราเห็นว่า $2^{d} \leq 2$. ดังนั้น$d \leq 1$เป็นเงื่อนไขที่จำเป็น สำหรับใด ๆ$d \in (0,1]$อสมการนั้นถูกต้อง สิ่งนี้พิสูจน์ได้จากการสังเกตสิ่งนั้น$(a+b)^{d}-a^{d}-b^{d}$ กำลังลดฟังก์ชันของ $a$ และหายไปเมื่อ $a=0$.

เมื่อไหร่ $d<0$, $|x-y|^{d}$ ไม่ได้กำหนดไว้ด้วยซ้ำว่าเมื่อใด $x=y$ ดังนั้นจึงไม่ให้ผลเป็นเมตริก $d=0$ เหลือให้คุณ