ข้อผิดพลาดใน "การพิสูจน์" ที่ 3 = 0 นี้อยู่ที่ไหน [ซ้ำ]
ฉันเห็นวิดีโอนี้ (ลิงก์ที่ด้านล่าง) พร้อมกับ "หลักฐาน" ที่ควรจะเป็น$3=0$. เป็นไปดังนี้:
ปล่อย $x$ เป็นทางออกของ $$x^2+x+1=0 \tag1$$
ตั้งแต่ $x\neq0$เราสามารถหารทั้งสองข้างด้วย $x$: $$\frac{x^2+x+1}{x}=\frac0x\implies x+1+\frac1x=0 \tag2$$
จาก $(1)$, $$x^2+x+1=0\implies x+1=-x^2$$
ทดแทน $x+1=-x^2$ เป็น $(2)$ $$\begin{align*} -x^2+\frac1x&=0 \tag3\\ \frac1x&=x^2\\ 1&=x^3\implies x=1 \tag4 \end{align*}$$ ทดแทน $x=1$ เป็น $(1)$ $$\begin{align*} 1^2+1+1&=0\\ 3&=0 \end{align*}$$
คำอธิบายที่ให้ไว้ในวิดีโอคือ
การแทนที่ $x+1=-x^2$ เป็น $(2)$ สร้างโซลูชันภายนอก $x=1$ ซึ่งไม่ใช่การแก้สมการเดิม $(1)$, $x^2+x+1=0$.
สมการ$(1)$ และ $(2)$ มีแนวทางแก้ไข $\frac{-1\pm i\sqrt3}{2}$แต่หลังจากการแทนที่สมการ $(3)$ มีสองวิธีนี้และ $1$.
โดยพื้นฐานแล้วมันกำลังบอกว่าปัญหากำลังแทนที่ $x+1=-x^2$แต่ฉันไม่แน่ใจว่านี่เป็นปัญหาจริงหรือเปล่า การเปลี่ยนตัวจะทำให้เกิดปัญหาได้อย่างไรหากทุกอย่างก่อนการเปลี่ยนตัวถูกต้อง
หลังจากอ่านความคิดเห็นฉันตระหนักว่าหลายคนพูดว่าปัญหาที่แท้จริงคือ $(4)$, เพราะ $1=x^3$ อาจหมายความเช่นนั้น $x=\frac{-1\pm i\sqrt3}{2}$. การไม่พิจารณาวิธีแก้ปัญหาเหล่านี้เป็นปัญหาเกี่ยวกับ "การพิสูจน์" คุณต้องตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาเหล่านี้ก่อนที่จะสรุปผลและ "เลือก" ข้อใดถูกต้อง
ดังนั้นคำถามของฉันคือปัญหาเกี่ยวกับ "หลักฐาน" ข้างต้นนั้นคืออะไร $3=0$เหรอ?
วิดีโอ: "พิสูจน์" 3 = 0 คุณมองเห็นความผิดพลาดได้หรือไม่? https://www.youtube.com/watch?v=SGUZ-8u1OxM.
คำตอบ
ปัญหาคือ $x^3=1$ ไม่ได้หมายความว่า $x=1$. สมการ$x^3-1=0$ มีสามรากที่เป็นไปได้และราก $x=1$ เป็นรูทที่สร้างเพิ่มเติม
การแทนที่สมาชิกของสมการเป็นตัวมันเองสามารถแนะนำวิธีแก้ปัญหาของมนุษย์ต่างดาวได้
เช่น $$x=x^2\implies x^2=x^2.$$
คุณสามารถทำได้โดยที่คุณยังคงสมการเริ่มต้นไว้ด้วย
การดำเนินงานที่ปลอดภัย ได้แก่ :
เพิ่มคำศัพท์ให้กับสมาชิกทั้งสอง
การคูณสมาชิกทั้งสองด้วยปัจจัยที่ไม่ใช่ศูนย์
ใช้การเปลี่ยนแปลงแบบกลับตัวไม่ได้กับสมาชิกทั้งสอง
สิ่งอื่นใด (เช่นการยกกำลังสองสมาชิก) ต้องทำด้วยความระมัดระวัง
การแทนที่สามารถทำให้เกิดรูทภายนอกได้เนื่องจากเป็นขั้นตอนที่ย้อนกลับไม่ได้ นั่นคือเป็นที่ชัดเจนว่าถ้า$x^2 + x + 1 = 0$แล้วเราก็มี $x + 1 + 1/x = 0$, $x+1 = -x^2$และโดยการเปลี่ยนตัว $$ -x^2 + 1/x = 0. $$ อย่างไรก็ตามสิ่งที่ตรงกันข้ามไม่เป็นความจริง: ถ้า $-x^2 + 1/x = 0$ก็ไม่จำเป็นต้องถืออย่างนั้น $-x^2 = x+1$ซึ่งจะเป็นไปตามนั้น $x^2 + x + 1 = 0$.
แน่นอนเราเห็นว่านี่คือวิธีการแก้ปัญหา $x = 1$ พอดีกับ: มันน่าพอใจ $-x^2 + 1/x = 0$, แต่ไม่ $-x^2 = x+1$.
มุมมองอื่น: การทดแทนสามารถสรุปได้ด้วยการคูณต่อไปนี้: $$ x^2 + x + 1 = 0 \implies\\ (-1 + 1/x)(x^2 + x + 1) = 0 \implies\\ -(x^2 + x + 1) + \frac 1x(x^2 + x + 1) = 0 \implies\\ -x^2 + 1/x = 0. $$ การคูณ $x^2 + x + 1$ โดยปัจจัยอื่นทำให้พหุนามรูทอื่น
ปล่อย $x\ne0$. แล้ว
$$x+1=-x^2\\\iff\\x+1=-\frac1x$$เป็นความจริง. แต่
$$x+1=-x^2\land x+1=-\frac1x\color{red}\iff-x^2=-\frac1x$$ไม่ใช่* ! ผลลัพธ์เชิงตรรกะคือจากซ้ายไปขวาเท่านั้น
ตามที่แสดงบนพล็อตเส้นโค้งของ $-x^2$ และ $-\dfrac1x$ ตัดกัน แต่ไม่ใช่ด้วย $x+1$. เมื่อเทียบกับสอง RHS ข้างต้นคุณจะสูญเสียข้อมูลและแนะนำวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ใช่
* ถ้าคุณคิดว่ามันจะเป็นเช่นนั้น
$$a=b\implies a=c\land b=c$$ อะไรก็ได้ $c$.