ขอบเคสพร้อมการสุ่มตัวอย่างและการสร้างใหม่
ฉันรู้ว่าฉันเคยขลุกอยู่กับคำถามนี้มาก่อนที่นี่และที่นี่แต่มีใครบ้างที่มีกลเม็ดวิธีการพิสูจน์ที่ง่ายและรัดกุมที่สุดในกระเป๋าของพวกเขาว่า:
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} (-1)^n \, \operatorname{sinc}(t-n) = \cos(\pi t) $$
ที่ไหน
$$ \operatorname{sinc}(x) \triangleq \begin{cases} \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \qquad & x \ne 0 \\ \\ 1 & x = 0 \\ \end{cases} $$
และ $t\in\mathbb{R}$ และ $n\in\mathbb{Z}$ เหรอ?
ฉันสามารถแสดงให้เห็นว่าทั้งสองด้านเป็นฟังก์ชันคู่ใน $t$ และทั้งสองฝ่ายมีข้อตกลงกันเมื่อใด $t$เป็นจำนวนเต็ม แต่วิธีที่ง่ายที่สุดในการแสดงความเท่าเทียมกันสำหรับความเป็นจริงทั้งหมดคืออะไร$t$ เหรอ?
นี่คือสิ่งที่ฉันอยากจะรวบรวมให้พวกเราวิศวกรไฟฟ้ายุคหิน (และขอบคุณ.)
คำตอบ
คำตอบนี้ส่วนใหญ่มาจากคำตอบนี้ (ที่กระชับมาก) สำหรับคำถามที่เกี่ยวข้องของ OP
โปรดทราบว่าสำหรับ $t\in\mathbb{Z}$ความเท่าเทียมกันนั้นแสดงได้อย่างตรงไปตรงมา กรณีที่น่าสนใจคือเมื่อ$t$ไม่ใช่จำนวนเต็ม อนุพันธ์ด้านล่างนี้ใช้ได้สำหรับค่าจริงที่ไม่ใช่จำนวนเต็มของ$t$.
การใช้ $\cos(x)\sin(y)=\frac12\big[\sin(x+y)-\sin(x-y)\big]$ เราเขียนได้
$$\begin{align}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^n\textrm{sinc}(t-n)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\cos(n\pi)\frac{\sin[\pi(t-n)]}{\pi(t-n)}\\&=\frac{\sin(\pi t)}{\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{t-n}\\&=\frac{\sin(\pi t)}{\pi}\left[\frac{1}{t}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{t-n}+\frac{1}{t+n}\right)\right]\\&=\frac{\sin(\pi t)}{\pi}\left[\frac{1}{t}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2t}{t^2-n^2}\right]\tag{1}\end{align}$$
ตอนนี้เราต้องการผลลัพธ์ต่อไปนี้:
$$\frac{1}{t}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2t}{t^2-n^2}=\pi\cot(\pi t)\tag{2}$$
ซึ่งสามารถพบได้ที่นี่ , ที่นี่และที่นี่และที่จะได้รับจากที่รู้จักกันดีเป็นตัวแทนสินค้าที่ไม่มีที่สิ้นสุดของฟังก์ชั่น sinc
$$\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{t^2}{n^2}\right)\tag{3}$$
การรวม $(1)$ และ $(2)$ ให้ผลลัพธ์ที่ต้องการ
คุณควรระมัดระวังในการทำความเข้าใจเกี่ยวกับผลรวม แต่สมมติว่าคุณเข้าใจ $\sum_{n=-\infty}^\infty a_n$ มันเป็นขีด จำกัด ที่ $N\to\infty$ ของ $\sum_{-N\le n\le N}(1-\frac{|n|}{N})a_n$ (การสรุปของ Cesaro ซึ่งให้ผลลัพธ์เช่นเดียวกับการสรุปตามปกติเมื่อข้อหลังเหมาะสม) คุณสามารถเขียน $$ (-1)^n\rm{sinc}(t-n)=\int_{-1/2}^{1/2}e^{-2\pi i n(x+\frac 12)}e^{2\pi i xt}\,dx $$ ดังนั้นผลรวมบางส่วนของ Cesaro จึงกลายเป็น $\int_{-1/2}^{1/2}K_N(x+\frac 12)e^{2\pi i xt}\,dx$ ที่ไหน $K_N(z)=\sum_{-N}^N(1-\frac{|n|}{N}) e^{-2\pi i nz}$เป็นเคอร์เนล Fejer สิ่งที่คุณอยากรู้ตอนนี้ก็คือ$K_N$ เป็นสมมาตรไม่เป็นลบ $1$- ปริพันธ์มีปริพันธ์ทั้งหมด $1$ ในช่วงเวลาดังกล่าวและมีแนวโน้มที่จะสม่ำเสมอ $0$นอกย่านเล็ก ๆ ของจำนวนเต็ม ดังนั้นสำหรับขนาดใหญ่$N$, $K_N(x+\frac 12)$ เป็นฟังก์ชันที่เกือบ $0$ บน $(-\frac 12+\delta,\frac 12-\delta)$ สำหรับการแก้ไขใด ๆ $\delta>0$ และมีอินทิกรัลเกือบ $\frac 12$ ในแต่ละช่วงเวลา $[-\frac 12,-\frac 12+\delta]$ และ $[\frac 12-\delta,\frac 12]$. เมื่อคุณรวมสิ่งที่ต้องการเข้ากับ$e^{2\pi i xt}$ เกิน $[-\frac 12,\frac 12]$คุณจะได้รับประมาณ $\frac 12(e^{-\pi it}+e^{\pi i t})=\cos(\pi t)$.
ขั้นตอนเดียวที่ไม่ใช่คนเดินเท้าในอาร์กิวเมนต์นี้คือการเปลี่ยนจากการสรุปตามปกติไปเป็น Cesaro one คุณสามารถหลีกเลี่ยงได้ แต่คุณจะได้รับเคอร์เนล Dirichlet แทนและข้อความสุดท้ายถึงขีด จำกัด จะค่อนข้างชัดเจน (เคอร์เนลจะไม่สลายตัวสม่ำเสมอในช่วงเวลาส่วนใหญ่ แต่จะแกว่งเร็วขึ้นและเร็วขึ้นที่นั่นและคุณ จะลงเอยด้วยการใช้คำศัพท์เช่น Riemann-Lebesgue เพื่อแสดงว่าคุณต้องดูเฉพาะจุดปลายทาง (ย่านเล็ก ๆ ) เท่านั้น