กี่ $(42^\circ,60^\circ,78^\circ)$ สามเหลี่ยมสามเหลี่ยมด้านเท่าแบ่งออกได้หรือไม่?
นี่เป็นคำถามคู่ขนานกับโพสต์อื่นที่มีคำตอบมากมายอยู่แล้วในแง่ที่ว่า$(42^\circ,60^\circ,78^\circ)$รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันเป็นเพียงการปูกระเบื้องมุมที่มีเหตุผลที่ไม่สำคัญเพียงอย่างเดียวของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า (และรูปหกเหลี่ยมปกติ) โมดูโลการผันที่แท้จริงของเขตข้อมูลพิกัด (เขตข้อมูลย่อยของ $\mathbf{Q}(\zeta_{60})$) ซึ่งแปลงระหว่าง $(42^\circ,60^\circ,78^\circ)$สามเหลี่ยมที่คล้ายกันและ $(6^\circ,60^\circ,114^\circ)$สามเหลี่ยมที่คล้ายกัน (อ้างอิง: การเอียงสามเหลี่ยมของ M.Laczkovich )
ความพยายามของฉันมีดังต่อไปนี้:
ตั้งแต่ $\sin(42^\circ)$ และ $\sin(78^\circ)$ มีอนุมูลที่ซ้อนกันฉันพยายามกำจัดมันโดย จำกัด หน่วยการปูกระเบื้องพื้นฐานของฉันให้เหลือเพียง $60^\circ$- รูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วและรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งเป็นแถวเดียวของกระเบื้องสามเหลี่ยม มีอัตราส่วนฐานต่อขาที่สั้นกว่าของแบบฟอร์ม$$m\cdot\frac{9-3\sqrt{5}}{2}+n\cdot\frac{11-3\sqrt{5}}{2}\quad\left(m,n\ge 0\right)$$ซึ่งเป็นจำนวนเต็มพีชคณิตโดยอัตโนมัติ การเรียงรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่เป็นไปได้ใด ๆ จากหน่วยรูปสี่เหลี่ยมเหล่านี้สอดคล้องกับความสัมพันธ์พหุนามจำนวนเต็มของพีชคณิตข้างต้นซึ่งระดับพหุนามมีความสัมพันธ์กับจำนวนชิ้นส่วนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสในการเรียงลำดับ
น่าเสียดายที่พีชคณิตข้างต้นทั้งหมดมีบรรทัดฐานขนาดใหญ่ดังนั้นการค้นหาพหุนามที่ต้องการแบบตาบอดจึงไม่เป็นปัญหาและฉันต้องลดสัดส่วนของชิ้นส่วนอีกครั้งเพื่อหาเหตุผล ฉันสามารถหาไฟล์$60^\circ$- รูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วที่โค้งงอที่มีอัตราส่วนฐานต่อขาที่สั้นกว่า $10$ โดยใช้ $79$ กระเบื้องและก $60^\circ$สี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านข้างมีอัตราส่วนของ $11$ โดยใช้ $80$กระเบื้อง ดังนั้นกระเบื้องอีกสองสามตัวจึงผลิต$60^\circ$รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและกระเบื้องอีกสองสามชิ้นผลิต a $60^\circ$- รูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วที่โค้งงอที่มีอัตราส่วนฐานต่อขาที่สั้นกว่า $1$ซึ่งสามอันเรียงเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าโดยใช้จำนวน $121\,170$กระเบื้องสามเหลี่ยม ในขณะที่ฉันอยู่ที่นั่นฉันพบโพสต์ที่เกี่ยวข้องน้อยกว่านี้ซึ่งอาจลดจำนวนไทล์ของฉันให้ต่ำกว่าแสนเล็กน้อย
ในขณะเดียวกันฉันก็ค้นหาด้วยคอมพิวเตอร์อย่างรวดเร็วผ่านการกำหนดค่าที่เรียบง่ายในเชิงแนวคิดซึ่งพยายามที่จะต่อรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าโดยใช้เวลาน้อยกว่า $50$ กระเบื้องและฉันไม่พบอะไรเลย
ฉันรู้สึกว่ากระเบื้องประมาณหนึ่งแสนแผ่นไม่ใช่จำนวนที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการปูกระเบื้องดังนั้นฉันจึงขอดูว่าผู้คนมีความคิดที่ดีกว่านี้หรือไม่ ฉันไม่สามารถให้สิ่งจูงใจเป็นเงินสดได้เหมือนที่โพสต์คู่ขนาน แต่ใครก็ตามที่ลองไขปริศนานี้จะต้องขอบคุณฉันอย่างแน่นอน
แก้ไขที่แนะนำโดย RavenclawPrefect:
เพื่อไปยังหน่วยการปูกระเบื้องรูปสี่เหลี่ยมที่ฉันใช้สิ่งแรกคือการขจัดอนุมูลอิสระตามที่ฉันได้กล่าวไว้ข้างต้น เช่น$\mathbf{Q}(\zeta_{60})$ Galois จบแล้ว $\mathbf{Q}(\sqrt{3})$ (ฟิลด์ฐานที่นี่ไม่ควรเป็น $\mathbf{Q}$ แต่แทนที่จะเป็นสนามพิกัดของสามเหลี่ยมด้านเท่า) ถ้าเราสามารถสร้างความยาวใดก็ได้ทางเรขาคณิต $\ell$ (หรืออัตราส่วนทางเทคนิค $\ell$) เช่นเมื่อเราทำการก่อสร้างทางเรขาคณิตเดียวกัน แต่ใช้ $42^\circ$ มุมและ $78^\circ$ มุมที่สลับกันเรายังคงสร้างแบบเดียวกัน $\ell$ก็ต้องถืออย่างนั้น $\ell\in\mathbf{Q}(\sqrt{5})$, ดังนั้น $\ell$ ไม่มีอนุมูลที่ซ้อนกัน
มีสองความคิดเกี่ยวกับอะไร $\ell$โดยเฉพาะอย่างยิ่งควรเป็นความคิดคู่ขนานที่พบได้ในคำถามคู่ขนานสำหรับกำลังสอง ฉันตัดสินตามข้างต้น$\mathbf{Q}(\sqrt{5})$-quadrilaterals (ซึ่งเป็นกระเบื้องสามเหลี่ยมแถวเดียว) เนื่องจากมีบรรทัดฐานตัวเลขน้อยที่สุด ในฐานะที่ไม่ใช่ตัวอย่างมีแนวคิดสองชั้นโดยใช้$9$ กระเบื้องที่ทำให้เกิดสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีอัตราส่วนผลคูณเชิงเหตุผลของ $889-321\sqrt{5}$, yuck. นอกจากนี้ยังมีความไม่สำคัญบางอย่างที่ควรเน้นรูปสามเหลี่ยมเมื่อใส่ลงในแถวเดียว แต่การคำนวณเพิ่มเติมบางส่วนแสดงให้เห็นว่าข้างต้น$(m,n)$แบบฟอร์มคือทั้งหมดที่เราได้รับจริงๆ อย่างแม่นยำยิ่งกว่านั้นสี่เหลี่ยมคางหมูก็ไม่สามารถมีได้$m=0$และสี่เหลี่ยมด้านขนานก็ไม่มี $n=0$.
หลังจากทำงานเสร็จแล้วส่วนที่เหลือเป็นเรื่องของการลองผิดลองถูก ในบรรดา$(m,n)$ ฉันเลือกรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีบรรทัดฐานที่เล็กที่สุดซึ่งก็คือไฟล์ $(m,n)=(0,1)$ สี่เหลี่ยมด้านขนานกับ $4$ กระเบื้องและหมุนเพื่อให้กลายเป็น $\frac{11+3\sqrt{5}}{38}$-สี่เหลี่ยมด้านขนาน. แล้ว$19$ ของเหล่านั้นทำ $\frac{11+3\sqrt{5}}{2}$- รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานกับ $76$ กระเบื้องและเห็นได้ชัดว่าฉันรวมเข้ากับไฟล์ $(1,0)$-trapezoid และก $(0,1)$- รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเพื่อไปยังรูปสี่เหลี่ยมเชิงเหตุผล
ดังนั้นกระบวนการนี้จึงเป็นเหมือน "ฉันบอกตรงๆว่าไม่รู้จะทำอะไรอีก" มากกว่า "ฉันเห็นความเรียบง่ายที่อาจเกิดขึ้น แต่ฉันไม่รู้ว่าเหมาะสมที่สุด" นอกจากนี้ยังเป็นสาเหตุที่ฉันกำลังมองหาแนวคิดใหม่ ๆ (ดูด้านบน) ที่ไม่พบในคำถามคู่ขนานเกี่ยวกับกำลังสอง
RavenclawPrefect ยังถามคำถามที่มีแรงจูงใจว่าสามารถปูกระเบื้องแบบเดียวกันได้หรือไม่ แต่ใช้กระเบื้องที่สอดคล้องกัน เอ็ม Laczkovich พิสูจน์แล้วว่าเป็นไปไม่ได้ในกระดาษภายหลังtilings ของรูปหลายเหลี่ยมนูนกับสอดคล้องสามเหลี่ยม
คำตอบ
ฉันกำลังโพสต์คำตอบใหม่สำหรับคำถามนี้เนื่องจากเทคนิคที่ฉันใช้แตกต่างจากคำตอบก่อนหน้าอย่างมากและมันก็ค่อนข้างยาวแล้ว (คำตอบนี้ส่วนใหญ่เขียนขึ้นก่อนคำตอบที่ยอดเยี่ยมของ Anders ดังนั้นมันจึงยังคงอยู่ที่นั่น)
ในการเริ่มต้นฉันต้องการอธิบายโครงสร้างที่อธิบายไว้ใน OP ให้ดีขึ้นเนื่องจากฉันพบว่าการดูไดอะแกรมเหล่านี้มีประโยชน์ กำหนดรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานของอัตราส่วน$r$ เป็นหนึ่งเดียวกับด้านข้าง $1,r,1,r$ ตามลำดับวัฏจักรและสี่เหลี่ยมคางหมูของอัตราส่วน $r$ เป็นหนึ่งเดียวกับด้านข้าง $1,r,1,r+1$ตามลำดับวงจร (ฉันจะสมมติโดยปริยายว่าทุกอย่างมี$60^\circ$ และ $120^\circ$ มุมและรูปสี่เหลี่ยมคางหมูทั้งหมดเป็นหน้าจั่วเว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น)
นี่คือรูปสี่เหลี่ยมคางหมูของอัตราส่วนหน้าจั่ว $\frac{9-3\sqrt{5}}2$ ทำจากสาม $\color{blue}{42}-\color{green}{60}-\color{red}{78}$ สามเหลี่ยม:
![](https://post.nghiatu.com/assets/images/s/AEK8I.png)
นี่คือสี่เหลี่ยมด้านขนานของอัตราส่วน $1$ ใหญ่กว่า (ด้วยฐานเดียวกัน) ที่ทำจากสามเหลี่ยมสี่รูปดังกล่าว:
![](https://post.nghiatu.com/assets/images/s/El8CB.png)
(โปรดทราบว่าจะไม่ได้รับจากการเพิ่มสามเหลี่ยมในโครงสร้างก่อนหน้านี้! จุดสามจุดล่างอยู่ในตำแหน่งเดียวกัน)
ตามที่ Edward H สังเกตเราสามารถขยายรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนทั้งสองด้านบนได้โดยการใส่ non-$60$- รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานระหว่างขอบที่มีเฉพาะมุมสีแดงและสีน้ำเงินเท่านั้น สิ่งนี้ทำให้เราใช้จ่ายได้$2$ รูปสามเหลี่ยมเพิ่มเติมเพื่อสร้างรูปสี่เหลี่ยมคางหมูและอัตราส่วนขนาน $\frac{9-3\sqrt{5}}{2}$ มากกว่า.
ตอนนี้ข้อสังเกตบางประการ:
รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานของอัตราส่วน $r$ ยังเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานของอัตราส่วน $1/r$: แค่พลิกตะแคง!
กำหนดอัตราส่วนสองขนาน $r,s$เราสามารถรวมมันเข้าด้วยกันเพื่อให้ได้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานของอัตราส่วน $r+s$.
รับอัตราส่วนสี่เหลี่ยมคางหมู $r$ และรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานของอัตราส่วน $s$เราสามารถนำมันมารวมกันเพื่อให้ได้อัตราส่วนสี่เหลี่ยมคางหมู $r+s$.
รับอัตราส่วนสองรูปสี่เหลี่ยมคางหมู $r,s$เราสามารถพลิกกลับด้านหนึ่งแล้วนำมารวมกันเพื่อให้ได้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานของอัตราส่วน $r+s+1$ (เนื่องจากด้านบนสั้นกว่าด้านล่างหนึ่งหน่วย)
รับอัตราส่วนสองรูปสี่เหลี่ยมคางหมู $r,s$เราสามารถวางอันหนึ่งทับกันเพื่อให้ได้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานของอัตราส่วน $rs/(r+s+1)$.
สิ่งนี้ทำให้เรามีเส้นทางที่ชัดเจนไปข้างหน้า: เริ่มต้นด้วยโซลูชันสี่เหลี่ยมคางหมูและสี่เหลี่ยมด้านขนานพื้นฐานสองแบบของเรา (รวมถึงส่วนขยาย) จากนั้นรวมเข้าด้วยกันตามวิธีข้างต้นเพื่อค้นหาความเอียงเล็ก ๆ ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูและรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีอัตราส่วนเหตุผลที่ดี เติมสามเหลี่ยมด้านเท่าด้วย
ฉันเขียนโค้ดเพื่อทำการคำนวณที่แน่นอนด้วยองค์ประกอบของ $\mathbb{Q}[\sqrt{5}]$และเริ่มจัดเก็บรูปสี่เหลี่ยมคางหมูและรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนทั้งหมดที่สามารถทำได้โดยรอบ $70$สามเหลี่ยม แต่มีขอบเขตขนาดของตัวเลขที่มีเหตุผลที่เกี่ยวข้องเพื่อป้องกันไม่ให้พื้นที่ค้นหาหลุดมือเกินไป (ถ้าฉันมีรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานของอัตราส่วน$1173/292-46\sqrt{5}/377$ฉันอาจจะไม่ต้องลงเอยด้วย)
สิ่งนี้เพียงอย่างเดียวไม่ได้สร้างรูปร่างอัตราส่วนเหตุผลมากนักดังนั้นฉันจึงเรียกใช้สคริปต์ที่สองซึ่งตรวจสอบระหว่างรูปร่างทั้งหมดที่สร้างขึ้นในการวนซ้ำก่อนหน้านี้สำหรับผู้ที่มีส่วนที่ไม่ลงตัวเป็นเชิงลบของกันและกันและรวมเข้าด้วยกันเป็นใหม่ รูปร่างอัตราส่วนเหตุผล
ผลการค้นหานี้มีโครงสร้างที่น่าสนใจมากมายรวมถึงโซลูชัน 72 สามเหลี่ยมของ Anders Kaseorg สำหรับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานของอัตราส่วนหน่วย แต่สำหรับวัตถุประสงค์ของเราเราสามารถมุ่งเน้นไปที่สองสิ่งเหล่านี้: $94$- กระเบื้องสี่เหลี่ยมคางหมูของอัตราส่วน $12/5$และก $100$- กระเบื้องสี่เหลี่ยมคางหมูของอัตราส่วน $17/7$.
หากวางไว้ด้านบนของกันและกันด้านล่างของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูแรกตรงกับด้านบนของที่สองจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่ทำจาก $194$ สามเหลี่ยมที่มีฐานด้านล่างเป็นสองเท่าของฐานด้านบน - ตรงตามเป้าหมายของเรา
![](https://post.nghiatu.com/assets/images/s/MMrZB.png)
เพียงเพื่ออวดโครงสร้างทั้งหมดนี่คือทั้งหมด $3\cdot(94+100)=\textbf{582}$ สามเหลี่ยมในชิ้นเดียว:
![](https://post.nghiatu.com/assets/images/s/96hVn.png)
จาก OP ฉันใช้ความจริงที่ว่าเราสามารถใช้ได้ $79$ สามเหลี่ยมเพื่อปูกระเบื้องสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีความยาวด้านข้าง $11,1,10,1$ และมุมของ $60$ และ $120$ องศาเช่นเดียวกับสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีความยาวด้านข้าง $1$ และ $11$ ด้วย $80$สามเหลี่ยม. ซึ่งหมายความว่าเราสามารถเรียง "เพชร" (การรวมกันของสามเหลี่ยมด้านเท่าสองอันที่เชื่อมต่อด้วยขอบ) โดยใช้$11\cdot80=880$ สามเหลี่ยม.
จากนั้นเราสามารถประกอบชิ้นส่วนเหล่านี้ทั้งหมดลงในตารางสามเหลี่ยม: สี่เหลี่ยมคางหมูจะขึ้น $21$ รูปสามเหลี่ยมสี่เหลี่ยมด้านขนานผอม $22$และพื้นที่รูปเพชรเพียง $2$(แต่เสียค่าใช้จ่ายมาก) แน่นอนว่าค่าใด ๆ สามารถปรับขนาดได้ด้วยตัวประกอบจำนวนเต็มและยังคงนอนอยู่บนเส้นตาราง
การใช้รหัสบางอย่างที่ฉันเขียนเพื่อแก้ปัญหาการปูกระเบื้องรวมถึงการปรับเปลี่ยนด้วยตนเองฉันพบว่ามีรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วที่มีอัตราส่วนฐานต่อขาต่อไปนี้ $1$ (ในกรณีนี้ปรับขนาดขึ้นบนเส้นตารางสามเหลี่ยมด้วยตัวประกอบ $12$ ในแต่ละมิติ):
![](https://post.nghiatu.com/assets/images/s/gUI0Y.png)
มันใช้ $12$ สี่เหลี่ยมคางหมูและ $19$เพชร (ขนาดต่างกัน) ดังนั้นการปูกระเบื้องสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีสามสำเนาของรูปร่างนี้จะใช้$3\cdot(12\cdot79+19\cdot880)=\textbf{53004}$ กระเบื้อง
แก้ไขโดยnickgard :
การปูกระเบื้องสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีขนาดเล็กลงโดยใช้$10$ สี่เหลี่ยมคางหมูยาวและ $12$ เพชร
$3\cdot(10\cdot79+12\cdot880)=\textbf{34050}$ กระเบื้อง
![](https://post.nghiatu.com/assets/images/s/5u0VO.png)
(สิ้นสุดการแก้ไข)
แก้ไข (RavenclawPrefect):ฉันได้พบวิธีที่ดีขึ้นในการต่อกระเบื้องขนานซึ่งสามารถใช้ร่วมกับโซลูชันของ nickgard เพื่อลดจำนวนลงได้อีก
นี่คือการปูกระเบื้องของไฟล์ $1\times 2$ สี่เหลี่ยมด้านขนานกับเจ็ด $1\times 11$ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน (ตรงกันข้ามกับ $22$ จะใช้เวลาโดยการรวมสองขนมเปียกปูนเข้าด้วยกัน):
![](https://post.nghiatu.com/assets/images/s/CMiDz.png)
โดยทั่วไปหนึ่งสามารถกระเบื้อง a $1\times n$ สี่เหลี่ยมด้านขนานสำหรับ $n=1,\ldots,9$ ด้วย $11,7,6,6,6,6,6,6,7$รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนผอม ค่าเหล่านี้เกิดจากการเรียงไฟล์$11\times n$สี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยกำลังสอง (ดูA219158บน OEIS) และใช้การแปลงความสัมพันธ์ที่เหมาะสม
สำหรับ $1\times 7$, โดยใช้ $6$ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนผอมให้เรา $6\cdot 80$แต่เรายังสามารถใช้ $6$ สี่เหลี่ยมคางหมูตามที่อธิบายไว้ในความคิดเห็นของ Edward H เกี่ยวกับคำตอบนี้สำหรับ $6\cdot 79$ กระเบื้องซึ่งมีการปรับปรุงเล็กน้อย
ด้วยการใช้บรรจุภัณฑ์ที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นเหล่านี้ฉันสามารถเติมรูปร่าง "ขั้นบันได" ในคำตอบของ nickgard ได้ดังนี้:
![](https://post.nghiatu.com/assets/images/s/KlJFd.png)
นี้ใช้ทั้งหมด $4874$ กระเบื้องในบันได $4874+10\cdot79 = 5664$ ในสี่เหลี่ยมคางหมูและ $\textbf{16992}$ ในรูปสามเหลี่ยม
แก้ไข 2 (RavenclawPrefect):หลังจากเล่นซอหลายรอบกับการสลายรูปทรง "บันได" ให้เป็นรูปขนานแนวแกนที่สวยงามฉันก็รู้ว่าฉันสามารถใช้การแปลงแบบ Affine โดยเปลี่ยนบันไดทั้งหมดให้เป็นโพลีโอมิโนที่มีขนาดสูงมาก${10\choose 2}\cdot 11=495$ ด้วยความสูง "ขั้น" $11$และพยายามเรียงสิ่งที่เป็นผลลัพธ์ด้วยสี่เหลี่ยมโดยตรง
ส่งผลให้มีการปรับปรุงอย่างมากโดยให้ปูกระเบื้องด้วย $46$ สี่เหลี่ยม (ด้วยเหตุนี้ $1\times 11$ขนานหนึ่งครั้งเปลี่ยนกลับ); ภาพที่เกิดจะไม่ฝังอย่างดีเนื่องจากความสูงของมัน แต่ฉันได้อัปโหลดไปยัง Imgur ที่นี่ อัปเดต:ฉันได้ปรับปรุงการปูกระเบื้องนี้เป็นไฟล์$45$วิธีการแก้ปัญหา -Square เห็นที่นี่
ซึ่งส่งผลให้ $3\cdot(45\cdot80+10\cdot79)=\textbf{13170}$ กระเบื้อง
วิธีนี้อาจได้รับการปรับปรุง:
พยายามบรรจุสิ่งนี้ให้ดีขึ้น $495$-omino by กำลังสอง - การค้นหาของฉันยังไม่ละเอียดถี่ถ้วนและฉันคิดว่าอย่างน้อยก็มี $30\%$ มีโอกาสที่จะปูกระเบื้องได้อย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้น
การหารูปสี่เหลี่ยมคางหมูหรือสามเหลี่ยมด้านเท่าที่ดีกว่าด้วยวิธีการเดียวกันนี้ - แน่นอนว่าฉันยังไม่ได้ปรับแต่งสิ่งต่างๆให้ดีที่สุดเท่าที่จะทำได้
การค้นหาการบรรจุ "ฐาน" ที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นของรูปทรงเมล็ดพันธุ์ใด ๆ ที่ใช้ในการปูกระเบื้องนี้หรือการสร้าง polyiamonds ที่ค่อนข้างเรียบง่ายแบบใหม่ $42-60-78$ สามเหลี่ยม.
นี่คือสี่เหลี่ยมคางหมูของอัตราส่วน $1$ ปูกระเบื้องโดย $195$รูปสามเหลี่ยมที่พบในการค้นหากำลังดุร้าย การใช้สามสิ่งนี้เพื่อสร้างสามเหลี่ยมด้านเท่าจะได้$3 \cdot 195 = \mathbf{585}$ สามเหลี่ยม.
![](https://post.nghiatu.com/assets/images/s/fSOeZ.png)
คำตอบเก่า
ขั้นพื้นฐานนี้ $60^\circ$ สี่เหลี่ยมคางหมูของอัตราส่วน $\frac{9 - 3\sqrt 5}{2}$ ใช้สามเหลี่ยมสามรูปและพื้นฐานนี้ $60^\circ$ รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานของอัตราส่วน $\frac{11 - 3\sqrt 5}{2}$ ใช้สามเหลี่ยมสี่รูป:
![](https://post.nghiatu.com/assets/images/s/4GrRK.png)
หมายเลขใดก็ได้ $r \in \mathbb Q[\sqrt 5]$ สามารถย่อยสลายได้ $r = \frac{11 - 3\sqrt 5}{2}u + \frac{2}{11 - 3\sqrt 5}v$ ด้วย $u, v \in \mathbb Q$. ถ้า$u, v \ge 0$จากนั้นเราสามารถเรียงรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานของอัตราส่วน $r$ การใช้ขนานพื้นฐานโดยการรวมการแปลงความสัมพันธ์ของการเอียงของรูปสี่เหลี่ยมของอัตราส่วน $u$ และ $v$ใช้สี่เหลี่ยม ตัวอย่างเช่นนี่คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน 72 เหลี่ยมของอัตราส่วน$1 = \frac{11 - 3\sqrt 5}{2}\cdot\frac{1}{11} + \frac{2}{11 - 3\sqrt 5}\cdot\frac{19}{11}$มาจากการเอียงสี่เหลี่ยมของ $1 × 11$ และ $19 × 11$ สี่เหลี่ยม
![](https://post.nghiatu.com/assets/images/s/hA2t2.png)
การใช้แนวคิดนี้ในการสร้าง "ขั้นบันได" ในเวอร์ชันนี้จะทำให้การเอียงของอัตราส่วนสี่เหลี่ยมคางหมูมีประสิทธิภาพมากขึ้น $1$. นี่คือหนึ่งกับ$45 \cdot 4 + 10 \cdot 3 + 44 \cdot 4 = 386$สามเหลี่ยม. (ตอนนี้ฉันกำลังใช้อัลกอริธึมการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกที่แบ่งพื้นที่สีเขียวและพื้นที่สีน้ำเงินแต่ละส่วนในการส่งครั้งเดียวแทนที่จะแบ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเพื่อความชัดเจนการแบ่งสี่เหลี่ยมคางหมู / เส้นขนานพื้นฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมสามในสี่จะไม่แสดงในภาพ)
![](https://post.nghiatu.com/assets/images/s/py7O3.png)
การใช้สามสิ่งนี้เพื่อสร้างสามเหลี่ยมด้านเท่าจะได้ $3 \cdot 386 = \mathbf{1158}$ สามเหลี่ยม.
อาจสร้างการปูกระเบื้องที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นโดยการตัดสี่เหลี่ยมคางหมูพื้นฐานจำนวนเล็กน้อยออกจากรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าไม่มากก็น้อยตามอำเภอใจจนกระทั่งรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเดียวยังคงอยู่โดยแก้อัตราส่วน $r \in \mathbb Q[\sqrt 5]$และใช้โครงสร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านบนหนึ่งครั้ง หาวิธีที่จะทำเช่นนั้น$u, v \ge 0$ มันยากกว่าที่ฉันคาดไว้