กลุ่มบรรทัดในโครงการผลิตภัณฑ์
ปล่อย $k$ เป็นสนาม $X$ มีความหลากหลายอย่างสมบูรณ์ $k$, $V$ เป็นความหลากหลายที่เปิดกว้างของ $X$, $Y$ เป็นโครงการมากกว่า $k$. สมมติ$L$ เป็นกลุ่มบรรทัดบน $V\times Y$. ถ้า$L|_{V\times\lbrace y\rbrace}$ ขยายไปยังกลุ่มบรรทัดบน $X\times\lbrace y\rbrace$ สำหรับทุกจุดปิด $y$ ของ $Y$กลุ่มบรรทัดหรือไม่ $L$ ขยายไปถึง $X\times Y$เหรอ?
จะเกิดอะไรขึ้นถ้าสมมติว่ามีสภาพที่แข็งแกร่งกว่านั่นคือสำหรับ functor ใด ๆ $\phi\colon\operatorname{Pic}(V\times Y) \to \operatorname{Pic}(V)$ (ที่นี่ $\operatorname{Pic}$ หมายถึง Picard functors) กลุ่มบรรทัด $\phi(L)$ บน $V$ ขยายไปถึง $X$. ทำ$L$ ขยายไปถึง $X\times Y$เหรอ?
แก้ไข: $X$ จะถือว่าราบรื่นคือความหลากหลายที่สมบูรณ์แบบ
คำตอบ
ยินดีต้อนรับผู้สนับสนุนใหม่ นี่ไม่เป็นความจริงแม้ว่า$X$ราบรื่น ตัวอย่างหนึ่งอนุญาตบทบาทของ$X$ และ $Y$ ในตัวอย่างก่อนหน้าของฉัน
ปล่อย $X$ เป็นเส้นโค้งที่ราบรื่นเชื่อมต่อกันทางเรขาคณิตของสกุล $g>0$. ปล่อย$f:X\to Y$ เป็นการทำให้เป็นมาตรฐานของเส้นโค้งปมที่มีโหนดเดียว $p$ นั่นคือ $k$- จุดเหตุผล ตัวอย่างเช่น$Y$ อาจเป็นควอร์ติคระนาบที่สำคัญและ $X$ อาจเป็นการทำให้เป็นมาตรฐาน (ประเภท $3$เส้นโค้ง) สมมติว่า preimage ของ$\{p\}$ ใน $X$ ถูกแยกกล่าวคือ $\{r',r''\}$ สำหรับ $k$คะแนน - เหตุผล $r',r''$ ของ $X$.
ปล่อย $V$ เป็นส่วนเสริมที่เปิดกว้างของ $\{r',r''\}$ ใน $X$. แสดงถึงการแปรสภาพของกราฟของข้อ จำกัด ของ$f$ ถึง $V$ ดังต่อไปนี้ $$\Gamma:V\to V\times Y.$$ ภาพของมอร์ฟิสม์ของกราฟนี้เป็นตัวหารคาร์เทียร์ที่สำคัญใน $V\times Y$. แสดงโดย$L$ มัดพลิกกลับด้านบน $V\times Y$ ที่เกี่ยวข้องกับตัวหารคาร์เทียร์นี้
การดึงกลับของตัวหารคาร์เทียร์นี้เป็น $V\times X$ จะขยายไปยังตัวหารคาร์เทียร์บน $X\times X$. ทุกส่วนขยายดังกล่าวเป็นของแบบฟอร์ม$$D_{c',c''} = \underline{\Delta} + \text{pr}_1^*\left(c' \underline{r'} + c''\underline{r''}\right).$$
สำหรับตัวหารคาร์เทียร์ที่ขยายออกไปแต่ละตัวจะมีข้อ จำกัด มากกว่า $X\times \{r'\}$ และมากกว่า $X\times \{r''\}$ไม่เทียบเท่าอย่างมีเหตุผล อันที่จริงถ้าเป็นเช่นนั้น$\underline{r'}$ และ $\underline{r''}$ จะเทียบเท่ากันอย่างมีเหตุผลดังนั้นสกุล $g$ เท่ากับ $0$. (นี่คือเหตุผลของฉันในการทำงานกับเส้นโค้งที่ราบรื่นของสกุลบวก) ตั้งแต่นั้นมา$X\times X$เป็นไปอย่างราบรื่น homomorphism จากกลุ่มของคลาสความเท่าเทียมกันเชิงเหตุผลของตัวหารคาร์เทียร์กับกลุ่ม Picard เป็นไอโซมอร์ฟิซึม ดังนั้นทุกมัดแบบกลับหัว$X\times X$ ที่ขยายการดึงกลับของ $L$ มีข้อ จำกัด ที่ไม่ใช่ isomorphic มากกว่า $X\times\{r'\}$ และมากกว่า $X\times\{r''\}$. ดังนั้นแต่ละมัดแบบพลิกกลับด้านบน$X\times X$คือไม่ isomorphic จะดึงของมัดกลับด้านบน$X\times Y$.
แก้ไข . ในตัวอย่างด้านบนสำหรับหน้าปก Zariski ทุกชิ้น$Y'\to Y$ผลลัพธ์เดียวกันถือ อย่างไรก็ตามมีปกétale$Y'\to Y$ เช่นที่ฟ่อนกลับด้านขยายไปถึง $X\times Y'$. ตัวอย่างเช่นที่ไม่มีส่วนขยายดังกล่าวแม้หลังจากปกétaleแล้วแทนที่จะปล่อยให้$X\to Y$เป็นนอร์มัลไลเซชันของเส้นโค้งปมอนุพันธ์ให้เป็นนอร์มัลไลเซชันของเส้นโค้ง cuspidal จากนั้นการก่อสร้างแบบเดียวกันจะทำให้มัดพลิกกลับได้$L$ บน $V\times Y$ เช่นนั้นสำหรับทุกปก $Y'\to Y$ไม่มีส่วนขยายของมัดพลิกกลับไปที่ $X\times Y'$.