กลุ่มเซมิไดเร็คและกลุ่มเมตาไซคลิก

Aug 18 2020

ปล่อย $G$ และ $H$ เป็นกลุ่มและ $\theta : H \to Aut G$homomorphism กำหนด$G\times_{\theta}H$ เรียกว่าผลิตภัณฑ์กึ่งไดเร็คของ $G$ และ $H$.

ปล่อย $C_{p}=\langle a\rangle$ และ $C_{q}=\langle b\rangle$ เป็นกลุ่มวัฏจักร (ทวีคูณ) ของคำสั่งซื้อที่สำคัญ $p$ และ $q$ ตามลำดับเช่นนั้น $p > q$ และ $q\mid p — 1$.

ก. แผนที่$\alpha:C_{p}\to C_{p}$ ให้โดย $a^{i}\mapsto a^{si}$ เป็นระบบอัตโนมัติ

ข. แผนที่$\theta:C_{q}\to Aut C_{q }$ ให้โดย $\theta(b^{i}) =\alpha^{i}$ ($\alpha$ ในส่วน (a)) เป็น homomorphism ($\alpha^{i} = I_{C_{p}})$.

ค. ถ้าเราเขียน$a$ สำหรับ $(a,e)$ และ $b$ สำหรับ $(e,b)$จากนั้นกลุ่ม $C_{p}\times_{\theta} C_{g}$ เป็นกลุ่มคำสั่ง $pq$, ที่สร้างขึ้นโดย $a$ และ $b$ ขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์: $|a|=p$, $|b| = q$, $ba = a^{s}b$, ที่ไหน $s\not\equiv 1 (\mod p)$และ $s^{q}\equiv 1 (\mod p)$. กลุ่ม$C_{p} \times_{\theta} C_{q}$ เรียกว่ากลุ่ม metacyclic

ฉันได้พยายามที่จะแก้ปัญหามันตั้งแต่$C_{p}=\langle a \rangle=\lbrace a^{p}|\text{$น$ is prime}\rbrace$ดังนั้นสำหรับบางคน $s\in \mathbb{Z}$, $(s,p)=1$,ในกรณีนี้ $\alpha^{s}$ ยังเป็นเครื่องกำเนิดของ $C_{p}$ตอนนี้สำหรับบางคน $m\in \mathbb{Z}$ อิมเปิล $s^{m}\equiv1(\mod p)$, แผนที่ $\alpha:C_{p}\to C_{p}$กำหนดระบบอัตโนมัติ คำนวณ$\alpha^{m}(\alpha^{i})=\alpha^{m-1}(\alpha^{si}) \cdots =\alpha^{s^{m}i}=\alpha^{i}=e$.

สำหรับขฉันลองใช้ theorem \ textit {Dyck} แต่ไม่แน่ใจ

ฉันต้องการทราบวิธีแก้ปัญหาหรือข้อเสนอแนะใด ๆ ฉันขอขอบคุณ

คำตอบ

1 rain1 Aug 18 2020 at 03:07

ปล่อย $q | p-1$ และ $C_p = \langle a \rangle$ และ $C_q = \langle b \rangle$.

สำหรับผลิตภัณฑ์ semidirect $C_p \rtimes_\theta C_q$ เราจะต้องกำหนดกลุ่ม homomorphism $\theta : C_q \to \operatorname{Aut}(C_p)$.

เราจะมีกลุ่มคำสั่ง $pq$ และ $C_p \lhd C_p \rtimes_\theta C_q$

อันดับแรก $\operatorname{Aut}(C_p)$

$\alpha : C_p \to C_p$

$\alpha(a^i) = a^{si}$

จะเป็นออโตมอร์ฟิซึมนั่นคือไอโซมอร์ฟิซึมจากกลุ่ม $C_p$ ถึง $C_p$นั่นคือ homomorphism แบบกลุ่มที่เป็น bijection ด้วย

เราสามารถแสดงให้เห็นว่ามันเป็นกลุ่ม homomorphism:

$\alpha(a^i a^j) = a^{s(i+j)}$
$\alpha(a^i)\alpha(a^j) = a^{si}a^{sj}$

และมันก็เท่ากัน

และมันจะเป็น bijection ถ้าคูณด้วย $s$ เป็น mod ที่กลับหัวได้ $p$.

$\theta : C_q \to \operatorname{Aut}(C_p)$

$\theta(b^i) = \alpha^i$

เราจะแสดงให้เห็นว่านี่คือกลุ่ม homomorphism:

$\theta(b^i b^j) = \alpha^{i+j}$ สมัครกับ $a^k$: $a^{s^{i+j} k}$.
$\theta(b^i) \circ \theta(b^j) = \alpha^{i} \circ \alpha^{i}$ สมัครกับ $a^k$: $\alpha^{i}(a^{s^j k}) = a^{s^i s^j k}$

และสิ่งเหล่านี้มีค่าเท่ากันดังนั้นนี่คือ homomorphism ของกลุ่มที่ถูกต้อง

รายละเอียดบน $s$:

จาก $\alpha$ เราต้องการสิ่งนั้น $s$ เป็น mod หน่วย $p$.

จาก $\theta$ เป็น homomorphism กลุ่มจาก $C_q$ (กล่าวคือ $\theta(b^q) = \theta(1)$) เราต้องการสิ่งนั้น $\alpha^q = 1$. ดังนั้นเราจึงต้องการ$s^q \equiv 1 \pmod p$.

ตอนนี้เราจะมีเสมอ $s^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ เราจึงสามารถหารากดั้งเดิมได้ $r$ และแจ้งให้ทราบ $(s^{\frac{p-1}{q}})^q \equiv 1 \pmod p$ เราจึงพบไฟล์ $s$ โดยการเลี้ยงดู $r$ เพื่อพลัง $(p-1)/q$.

โดยทั่วไปผลคูณกึ่งทิศทางมีการดำเนินการคูณดังนี้ ($b$ เป็นองค์ประกอบทั่วไปไม่ใช่ตัวสร้างสำหรับ $C_q$ สำหรับบรรทัดถัดไปเท่านั้น):