ลำดับคงที่ของผลรวมบางส่วนในอนุกรมที่แตกต่างกัน

Aug 15 2020

ในอนุกรมฮาร์มอนิกเรามี $$|H_{2n}−H_n|\geq \frac{1}{2}$$ เพื่อทุกสิ่ง $n$ซึ่งแสดงถึงความแตกต่าง อย่างไรก็ตามผลรวมบางส่วนจาก$n$ ถึง $2n$, ประเมินที่ $n$, เท่ากัน $\ln(2)$ เพื่อทุกสิ่ง $n$. นี่ไม่ได้หมายความว่าลำดับของผลรวมบางส่วนได้มาบรรจบกับค่าหรือไม่$\ln(2)$ซึ่งหมายความว่าซีรีส์ควรมาบรรจบกัน? ฉันรู้สึกว่าฉันไม่เข้าใจพื้นฐานบางอย่างเกี่ยวกับเกณฑ์ Cauchy และการบรรจบกัน ฯลฯ นี่ไม่ใช่ลำดับของผลรวมบางส่วนเลยหรือไม่เนื่องจากสิ่งที่ตลกที่เรากำลังทำกับช่วงเวลา? ขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือของคุณ.

คำตอบ

3 PacoAdajar Aug 15 2020 at 23:09

ประการแรกสิ่งเล็กน้อย: ผลรวมบางส่วนจาก $n$ ถึง $2n$ แนวทาง $\ln{2}$แต่จะไม่มีวันเท่าเทียมกัน (ทำไม?)

ประการที่สองสิ่งที่สำคัญกว่า: ในความเป็นจริงสิ่งที่คุณแสดงให้เห็นคือลำดับของผลรวมบางส่วน $\{ H_n\}$ไม่ใช่ Cauchy และไม่บรรจบกัน อันที่จริงถ้าเป็น Cauchy แล้วตามคำจำกัดความ$|H_{2n} - H_n| \to 0$. ทั้งนี้เนื่องจากว่า$\epsilon > 0$ก็จะต้องมีอยู่ $N(\epsilon)$ ซึ่ง $|H_m - H_n| < \epsilon$ เมื่อใดก็ตาม $m, n > N(\epsilon)$; จากนั้นเราเลือก$m = 2n$ ที่นี่.