ลักษณะเฉพาะของสเปกตรัมแบบไม่ต่อเนื่องอัตโนมัติ
ฉันเพิ่งเรียนรู้เกี่ยวกับการสลายตัวของสเปกตรัมออโตเมติกจากหนังสือ "การสลายตัวของสเปกตรัมและอนุกรมไอเซนสไตน์" โดย Moeglin และ Waldspurger (ขอเรียกว่า MW)
ฉันมีคำถามเกี่ยวกับลักษณะของสเปกตรัมแบบไม่ต่อเนื่อง
ให้ฉันอธิบายสัญกรณ์พื้นฐานใน MW
ปล่อย $G$ เป็นกลุ่มรีดักชั่นที่เชื่อมต่อกันบนสนามพีชคณิต $k$ และ $\xi$ เป็นตัวละครที่รวมกันของ $Z_G(A)$.
ปล่อย $L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$ เป็น $L^2$- ฟังก์ชั่นบน $G(k)\setminus G(A)$ ด้วยอักขระกลาง $\xi$.
จากนั้น $L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$ สลายตัวเป็นช่องว่างที่เกิดจากการตกค้างซ้ำของอนุกรมไอเซนสไตน์และส่วนประกอบของมันซึ่งอธิบายโดยปริพันธ์โดยตรงของอนุกรมไอเซนสไตน์ (MW, IV 2.1)
ผมขอเรียกช่องว่างแรก $L^2_d$.
(ฉันคิดว่า $L^2_d$ คือการปิดช่วงของ $L^2$ แบบฟอร์ม automorphic ใน $L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$.)
ผมขอเรียกส่วนกึ่งง่ายนั่นคือผลรวมโดยตรงของฮิลแบร์ต $L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$ตามชื่อ $L^2_{ss}$.
ความหมายของสเปกตรัมที่ไม่ต่อเนื่องและคุณสมบัติพื้นฐานและต่อเนื่อง
ในบทความข้างต้นเรียกว่าสเปกตรัมไม่ต่อเนื่อง
คำถามของฉันคือ
- เป็น $L^2_d$ และ $L^2_{ss}$ เหมือน?
- ถ้าเป็นเช่นนั้นจะพิสูจน์ได้อย่างไร? เราสามารถพิสูจน์ได้โดยการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันเบื้องต้น (เช่นความรู้จากหนังสือ "Functional Analysis" โดย Walter Rudin) เหมือนกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Gelfand-Graev-Patetski-Shapiro เช่นในกรณี cuspidal
ฉันคิดว่ามันเป็นที่ชัดเจนว่า $L^2_d$ ประกอบด้วย $L^2_{ss}$แต่ฉันสงสัยว่าการสนทนาเป็นเรื่องจริงหรือไม่ ฉันจะขอบคุณเบาะแสใด ๆ ในการแก้ไขคำถามนี้ ขอบคุณ!
แก้ไข: ฉันได้เพิ่มคำถามและคำจำกัดความของ $L^2_{ss}$สอดคล้องกับความคิดเห็น ขอบคุณสำหรับความคิดเห็น!
คำตอบ
มันเป็นความจริงโดยการยอมรับของ $L^2_{d}$.
ข้อเรียกร้อง 1. $L^2_{d}$ เป็นที่ยอมรับ
ร่างของการพิสูจน์
ถ้า K-type คงที่มีความเป็นไปได้ จำกัด ของตัวอักษรน้อยที่สุดของรูปแบบอัตโนมัติที่มี K-type และใน$L^2_{d}$โดยทฤษฎีบทการยอมรับของ Harish-Chandra สำหรับการเป็นตัวแทนของ cuspidal และการสร้างส่วนที่เหลือของชุด Eisenstein (เปรียบเทียบ MW V3.3, V3.13, Corvallis 4.3)
ดังนั้นอีกครั้งโดยทฤษฎีบทการยอมรับของ Harish-Chandra ช่องว่าง$L^2_{d}$ เป็นที่ยอมรับ
อ้างสิทธิ์ 2 การเป็นตัวแทนแบบรวมที่ยอมรับได้ของ G ($\mathbb{A}$) เป็นแบบกึ่งง่าย
ร่างของหลักฐาน
มันพอเพียงที่จะแสดงให้เห็นว่าทุก representions รวมภัณฑ์ยอมรับมี subrepresentation ลดลงไม่ได้. (จากนั้นก็จะตามด้วยบทแทรก Zorn ของ.)
Let$\pi$เป็นตัวแทนที่ไม่ยอมรับการซ่อมแซมรวมกันที่ไม่ใช่ศูนย์ จากนั้นมีชุด K-types ที่ จำกัด$\mathcal{F}$ ดังนั้น $\mathcal{F}$- ส่วนหนึ่งของ $\pi$, พูด $\pi_\mathcal{F}$ไม่ใช่ศูนย์
ปล่อย$e_\mathcal{F}$ เป็น idempotent ที่สอดคล้องกันในพีชคณิต Hecke ของ G $\mathcal{H}(G)$และปล่อยให้ $\mathcal{H}(G,\mathcal{F})$ เป็น $e_\mathcal{F} \ast \mathcal{H}(G) \ast e_\mathcal{F}$(เปรียบเทียบ Corvallis p183 บทความของ Flath และบทที่ 1 ของ Knapp-Vogan)
จากนั้น$\pi_\mathcal{F}$ มีการนำเสนอย่อยที่ไม่สามารถวัดได้ $\rho_\mathcal{F}$ ของ $\mathcal{H}(G,\mathcal{F})$ และสร้าง G ($\mathbb{A}$) - พื้นที่ย่อย $\rho$.
เราอ้างว่า$\rho$ไม่สามารถลดได้
มิฉะนั้น,$\rho$ ย่อยสลายผลรวมโดยตรงของสองพื้นที่ย่อยปิดที่เหมาะสม $\rho_{1}$ และ $\rho_{2}$.
กำลังฉาย$\rho_\mathcal{F}$อย่างใดอย่างหนึ่ง $(\rho_i) _\mathcal{F}$ไม่ใช่ศูนย์ โดยความไม่สามารถลดลงของ$\rho_\mathcal{F}$อย่างใดอย่างหนึ่ง $(\rho_i)$ เท่ากับ $\rho$และความขัดแย้ง (เพื่อให้การพิสูจน์นี้สมบูรณ์เราต้องใช้การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันตัวอย่างเช่นดู 1.6.6 ของกลุ่มการลดลงจริงของ Wallach)