$\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2=\left|2\frac{\partial u}{\partial z}\right|^2$

Question

ฉันกำลังอ่าน Complex Analysis โดย Stein และ Shakarchi (หน้า 13) เป้าหมายคือการพิสูจน์สิ่งนั้น$\partial f/\partial z=2\, \partial u/\partial z$ ที่ไหน $f=u+iv$ และ $z=x+iy$. หลักฐานในหนังสือระบุว่า$$\begin{align}\det J_F (x_0,y_0)&=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial y}\\&=\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2\\&\overset{?}{=}\left|2\frac{\partial u}{\partial z}\right|^2.\end{align}$$ฉันเข้าใจทุกอย่างยกเว้นขั้นตอนสุดท้ายที่มีเครื่องหมาย "?" สิ่งที่ได้รับแทนคือ$$\begin{align}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2&=\frac{\partial u^2}{\partial x^2}+\frac{\partial u^2}{\partial y^2}\\&=\frac{\partial u^2\partial y^2+\partial u^2\partial x^2}{\partial x^2\partial y^2}\\&=\frac{\partial u^2(\partial x^2+\partial y^2)}{\partial x^2\partial y^2}\\&=\frac{\partial u^2\partial z^2}{\partial x^2\partial y^2}\end{align}$$ แต่ฉันไม่เข้าใจว่าทำไมต้องเท่ากัน $\left|2\frac{\partial u}{\partial z}\right|^2$.

Answer 1

เรากำหนด \begin{align} \dfrac{\partial u}{\partial z} &:= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial u}{\partial x} - i \dfrac{\partial u}{\partial y}\right) \end{align} ดังนั้นตามคำจำกัดความของโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน (และความจริงที่ว่า $u$ เป็นมูลค่าที่แท้จริง) มันจะเป็นไปตามนั้นทันที \begin{align} \left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2 &= \left|2\dfrac{\partial u}{\partial z}\right|^2. \end{align}

---

ในฐานะบันทึกด้านข้างเรายังกำหนด \begin{align} \dfrac{\partial u}{\partial \overline{z}} &:= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial u}{\partial x} + i \dfrac{\partial u}{\partial y}\right) \end{align} ดังนั้นจึงเป็นไปตามนั้น \begin{align} \left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2 &= \left|2\dfrac{\partial u}{\partial z}\right|^2 = \left|2\dfrac{\partial u}{\partial \overline{z}}\right|^2 . \end{align}