นิยามเชิงตรรกะด้วยความเท่าเทียมกันและกฎแห่งอัตลักษณ์ใน Suppes 'Introduction to Logic'
" Introduction to Logic " ของPatrick Suppes ให้กฎสำหรับคำจำกัดความอย่างเป็นทางการในบทที่ 8 กฎด้านล่างระบุไว้สำหรับสัญลักษณ์การดำเนินการใหม่ที่มีความเท่าเทียมกัน:
ความเท่าเทียมกัน $D$ แนะนำสัญลักษณ์การทำงาน n-place ใหม่ $O$ เป็นคำจำกัดความที่เหมาะสมในทฤษฎีถ้าและต่อเมื่อ $D$ เป็นรูปแบบ:
$O(v_1, ..., v_n) = w \leftrightarrow S$
และเป็นไปตามข้อ จำกัด ต่อไปนี้:
(i)$v_1, ..., v_n, w$เป็นตัวแปรที่แตกต่างกัน
(ii)$S$ ไม่มีตัวแปรอิสระนอกเหนือจาก $v_1, ..., v_n, w$.
(สาม)$S$เป็นสูตรที่ค่าคงที่ที่ไม่ใช่ตรรกะเพียงอย่างเดียวคือสัญลักษณ์ดั้งเดิมและสัญลักษณ์ที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้ของทฤษฎี
(iv) สูตร$\exists !w[S]$ ได้มาจากสัจพจน์และคำจำกัดความก่อนหน้าของทฤษฎี
นอกจากนี้ยังมีการกล่าวถึงLaw of Identity ไว้ล่วงหน้า:
ถ้า x คืออะไรก็ตาม $x=x$.
ตอนนี้สมมติว่าคุณมีคำจำกัดความต่อไปนี้:
$$ \forall f,x,y[f_x = y \iff f \text{ is a function } \land \langle x,y \rangle \in f] $$
สมมติว่าคุณได้กำหนดฟังก์ชันและลำดับคู่ไว้ก่อนหน้านี้ซึ่งคุณอาจพิสูจน์ได้ $\exists !y[S]$ ด้วยความกว้างขวางดังนั้นจึงเป็นไปตามกฎ (iv)
นี่คือปัญหา: ภายในขอบเขตของชุดกฎนี้ดูเหมือนว่าเราสามารถใช้Law of Identityกับตัวแปรใดก็ได้$A$เพื่ออ้างว่า $A_x=A_x$ และใช้เพื่ออ้างว่า $A \text{ is a function } \land \langle x,A_x \rangle \in A$และเช่นนั้น $A$เป็นฟังก์ชันแม้ว่าเราจะไม่รู้อะไรเลยก็ตาม ตรรกะนั้นสามารถใช้ได้กับตัวแปรใด ๆ ไม่ว่าจะเป็นความสัมพันธ์ปกติเซตธรรมดาหรือแม้แต่องค์ประกอบดังนั้นการหักค่านี้จะต้องผิด
ตอนแรกฉันคิดว่าฉันทำผิดกฎ (iii) ดังคำกล่าวที่ว่า "$A \text{ is a function } \land \langle x,A_x \rangle \in A$"มีสัญลักษณ์ที่ไม่ได้กำหนดไว้ก่อนหน้านี้ $A_x$ซึ่งกำหนดไว้ในคำสั่งเองดังนั้นจึงไม่ถูกต้อง
อย่างไรก็ตามพิจารณาคำจำกัดความต่อไปนี้: $$ \newcommand\liff{\leftrightarrow} \newcommand\lif{\rightarrow} \newcommand\lfi{\leftarrow} \newcommand\ordp[2]{\langle #1,#2 \rangle} \newcommand\mset[1]{\{ #1 \}} \newcommand\isRel[1]{#1 \text{ is a relation}} \newcommand\isFunc[1]{#1 \text{ is a function}} \newcommand\isOneOne[1]{#1 \text{ is one-one}} \mset{a} = p \iff \forall x[x \in p \liff x = a] $$
มีเอกลักษณ์เฉพาะด้วยความสามารถพิเศษ ดูเหมือนว่าจะเป็นผลที่ชัดเจนจากสิ่งนั้น$\mset{a} = \mset{b} \lif a = b$แต่วิธีเดียวที่ฉันเห็นในการพิสูจน์คือการใช้ $\mset{a} = \mset{b}$ ที่จะได้รับ $\forall x[x \in \mset{b} \liff x = a]$ซึ่งจะไม่ได้รับอนุญาตหากการตีความของฉันถูกต้องดังนั้นฉันไม่คิดว่านั่นคือคำตอบ
สัญชาตญาณที่สองของฉันคือกฎ (i) กำลังพังนั่น $f_x = f_x$ไม่นับว่าเป็นตัวแปรที่แตกต่างกัน อย่างไรก็ตามจากคำจำกัดความข้างต้นก็ดูเหมือนว่า$a \in \mset{a}$ควรปฏิบัติตาม วิธีเดียวที่ฉันเห็นเพื่อพิสูจน์สิ่งนี้คือการใช้$\mset{a} = \mset{a}$ ด้วยคำจำกัดความซึ่งจะไม่ได้รับอนุญาตหากเป็นกรณีนี้ดังนั้นฉันจึงไม่คิดว่านั่นเป็นทางออกเช่นกัน
ดังนั้นคำถามของฉันคืออะไรคือผู้กระทำผิดที่แท้จริงของการเข้าใจผิด?
แก้ไข: หลังจากการสนทนาเพิ่มเติมฉันกำลังเพิ่มข้อมูลบางอย่างเพื่อหวังว่าจะชี้แจงว่าคำถามนี้คืออะไรและไม่เกี่ยวกับ
นี้ไม่เกี่ยวกับการตั้งทฤษฎี ปัญหาของฉันเกี่ยวกับภาษาที่เป็นทางการของลอจิกลำดับที่หนึ่งที่หนังสือให้มา เพื่อหลีกเลี่ยงการมุ่งเน้นไปที่ทฤษฎีเซตฉันจะให้ตัวอย่างที่สอง สมมติว่าเรามีข้อความต่อไปนี้:
$$ \forall a,b,x,y[\text{isSingleChild}(x) \land \text{parentsOf}(a,b,x) \land \text{parentsOf}(a,b,y) \Rightarrow x = y] \\ \forall a,b,x[\text{son}\{a,b\} = x \iff \text{isAdult}(a) \land \text{isAdult}(b) \land \text{parentsOf}(a,b,x) \land \text{isSingleChild}(x)] $$
คำสั่งแรกรับประกันว่า $x$ มีเอกลักษณ์เฉพาะในคำจำกัดความของ $\text{son}$.
ความหมายของ $\text{son}\{a,b\}$ดูเหมือนจะปฏิบัติตามกฎทั้งหมดที่ให้ไว้ ไม่ได้มีจุดมุ่งหมายเพื่อระบุว่าตัวแปรใด ๆ ตามเพรดิเคตเฉพาะใด ๆ แต่เพียงระบุความสัมพันธ์เชิงตรรกะ อย่างไรก็ตามหากคุณใช้ร่วมกับ Law of Identity คุณอาจได้รับ:
$$ \newcommand{\fitch}[1]{\begin{array}{rlr}#1\end{array}} \newcommand{\fcol}[1]{\begin{array}{r}#1\end{array}} %FirstColumn \newcommand{\scol}[1]{\begin{array}{l}#1\end{array}} %SecondColumn \newcommand{\tcol}[1]{\begin{array}{l}#1\end{array}} %ThirdColumn \newcommand{\subcol}[1]{\begin{array}{|l}#1\end{array}} %SubProofColumn \newcommand{\subproof}{\\[-0.25em]} %adjusts line spacing slightly \newcommand{\fendl}{\\[0.037em]} %adjusts line spacing slightly \small \fitch{ \fcol{1:\fendl 2:\fendl 3:\fendl\fendl 4:\fendl 5:\fendl 6:\fendl 7:\fendl 8:\fendl } & \scol { \forall a,b,x[\text{son}\{a,b\} = x \iff \text{isAdult}(a) \land \text{isAdult}(b) \land \text{parentOf}(a,b,x) \land \text{isSingleChild}(x)] \\ \forall x[\text{son}\{a,b\} = x \iff \text{isAdult}(a) \land \text{isAdult}(b) \land \text{parentOf}(a,b,x) \land \text{isSingleChild}(x)] \\ \text{son}\{a,b\} = \text{son}\{a,b\} \\\quad\iff \text{isAdult}(a) \land \text{isAdult}(b) \land \text{parentOf}(a,b,\text{son}\{a,b\}) \land \text{isSingleChild}(\text{son}\{a,b\}) \\ \forall x[x = x] \\ \text{son}\{a,b\} = \text{son}\{a,b\} \\ \text{isAdult}(a) \land \text{isAdult}(b) \land \text{parentOf}(a,b,\text{son}\{a,b\}) \land \text{isSingleChild}(\text{son}\{a,b\}) \\ \text{isAdult}(a) \\ \forall a [\text{isAdult}(a)] \\ } & \tcol{ \text{P} \fendl 1\ \forall\text{E}\ \fendl 2\ \forall\text{E}\ \fendl\fendl \text{T}\ \fendl 4\ \forall\text{E}\ \fendl 3,5\ {\liff}\text{E}\ \fendl 6\ {\land}\text{E}\ \fendl 7\ \forall\text{I}\ \fendl }} $$
ดังนั้นจากคำจำกัดความดังกล่าวคุณอาจอนุมานได้ว่าทุกคนเป็นผู้ใหญ่ สังเกตสิ่งที่ฉันไม่ได้พูด ฉันไม่ได้บอกว่าข้อโต้แย้งนี้ฟังดูดีและไม่ได้ปกป้องฉันกำลังบอกว่าชุดกฎที่ให้ไว้ในหนังสืออนุญาต (อาจจะไม่เป็นเช่นนั้น แต่ฉันไม่เห็นกฎของการหักเชิงตรรกะใด ๆ ที่ถูกทำลาย) ฉันรู้ว่าอาร์กิวเมนต์เป็นเหตุผล แต่กฎระเบียบอย่างเป็นทางการมีการปฏิบัติตาม คำถามของฉันไม่ได้เกี่ยวกับความสมบูรณ์ของข้อโต้แย้ง แต่เป็นความสมบูรณ์ของระบบที่ให้ไว้ในหนังสือ
นอกจากนี้ทราบว่ายืนยันไม่เกี่ยวกับการตั้งทฤษฎีหรือ "ทฤษฎีของครอบครัว" มันเป็นเรื่องเกี่ยวกับตรรกะของตัวเอง คำยืนยันของฉันคือ (เห็นได้ชัด) ภายในระบบที่เป็นทางการที่กำหนดให้ใช้ข้อความใด ๆ ในรูปแบบต่อไปนี้:
$$ \forall a,b,x[\text{entityFrom}\{a,b\} = x \iff \text{hasSomeProperty}(a) \land \text{uniqueRelation}(a,b,x)] \vdash \forall a[\text{hasSomeProperty}(a)] $$
ฉันเข้าใจว่าคำจำกัดความไม่ได้นำมาซึ่งข้อสรุป อย่างไรก็ตามในระบบข้อสรุปดูเหมือนจะอนุมานได้จากมัน
มีเพียงสามตัวเลือกเท่านั้น ไม่ว่าจะเป็นระบบที่เป็นทางการที่ให้มาไม่ถูกต้องก็ตามคำจำกัดความนั้นนำไปสู่ข้อสรุปจริง ๆ หรือฉันพลาด / ตีความกฎบางข้อใน Law of Identity / Rules for Definition / Rules for Quantifiers ผิด
หนังสือเล่มนี้และมีอายุมากกว่า 50 ปีจุดนี้จะสังเกตเห็นการกำกับดูแลที่เป็นไปได้ใด ๆ ในระบบ (มันเขียนโดย Suppes ด้วยดังนั้นฉันสงสัยว่ามี) ดังนั้นฉันจึงแน่ใจว่าไม่ใช่เรื่องแรก คำจำกัดความดังกล่าวดูเหมือนจะมีรูปแบบที่ดีและรู้สึกว่าไม่ควรนำไปสู่ข้อสรุปโดยตรงดังนั้นจึงอาจไม่ใช่ข้อที่สองเช่นกัน นำไปสู่ข้อสรุปว่าฉันอาจพลาดหรือตีความบทบัญญัติ / กฎบางอย่างผิดที่จะทำให้ข้อโต้แย้งนั้นไม่ถูกต้อง คำถามคืออันไหน?
สิ่งที่จะไม่ตอบคำถาม:
- "ในทฤษฎีเซตฟังก์ชันมีโดเมนเฉพาะและจำเป็นต้องมี [คุณสมบัติบางอย่าง] ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่ตัวแปรทั้งหมดจะเป็นฟังก์ชัน"
- "คำจำกัดความของความเป็นพ่อแม่ของคุณไม่ได้อธิบายถึงความคิดของพ่อแม่อย่างถูกต้องเนื่องจากไม่ได้หมายความว่าเด็กทุกคนมีพ่อแม่และ [คุณสมบัติบางอย่างของความเป็นพ่อแม่] ดังนั้นคำจำกัดความจึงไม่ใช่คำอธิบายที่ถูกต้อง"
การแก้ปัญหาไม่สามารถเกี่ยวกับความไม่สมเหตุสมผลของข้อโต้แย้งในทฤษฎีเฉพาะเรื่องเดียวซึ่งจะไม่ไปถึงต้นตอของปัญหา อาจใช้บริบทเฉพาะเป็นตัวอย่าง แต่การแก้ปัญหาจะต้องอยู่ในระดับของภาษาที่เป็นทางการ
สิ่งที่อาจตอบคำถาม:
- "ชุดกฎที่หนังสือให้มานั้นไม่สมบูรณ์จริง ๆ เพราะคำจำกัดความที่มีความเท่าเทียมกันซึ่งมี [คุณสมบัติทางวากยสัมพันธ์] อาจนำไปสู่การเข้าใจผิดอย่างไรก็ตามคุณสามารถหลีกเลี่ยงได้โดยการเพิ่มกฎใหม่ที่ต้องการให้คำจำกัดความของคุณมี [new definition contraint] "
- "คำจำกัดความของคุณทำให้เกิดข้อสรุปอย่างมีเหตุผลลองคิดดูว่าถ้าคำจำกัดความของคุณคือ [this] ดังนั้น [คำอธิบายว่าเหตุใดคำจำกัดความจึงควรนำไปสู่ข้อสรุปอย่างมีเหตุผล] ดังนั้นข้อโต้แย้งและข้อสรุปจึงใช้ได้ฉันสงสัยว่านั่นคือสิ่งที่คุณตั้งใจ สรุปด้วยคำจำกัดความของคุณฉันคิดว่าสิ่งที่คุณหมายถึงคือ [คำจำกัดความที่มีพฤติกรรมดี] " $^{\dagger}$
- "คุณตีความกฎ [n] ผิดบางทีคุณอาจคิดว่ามันหมายถึง [การตีความ] เมื่อมันพูด [การตีความที่แตกต่างกัน] จริงๆถ้าคุณคำนึงถึงสิ่งนั้นบรรทัด [x] ของอาร์กิวเมนต์ของคุณก็ไม่ถูกต้อง"
- "คุณลืมไปว่าคุณไม่สามารถใช้แทนคำที่กำหนดได้เหมือนกับที่คุณทำตัวแปรคุณสามารถใช้แทนคำที่กำหนดได้ก็ต่อเมื่อมีการใช้ [เงื่อนไขทางวากยสัมพันธ์] ดังนั้นขั้นตอน $3$ การหักเงินของคุณไม่ถูกต้อง "
- "กฎแห่งตัวตนไม่ได้ต้องการเพียงความเป็นเอกลักษณ์เท่านั้น แต่ยังรวมถึง [คุณสมบัติตัวแปรบางอย่าง] ด้วยดังนั้นคุณจึงไม่สามารถใช้เป็น $5$เนื่องจากตัวแปรในคำจำกัดความของคุณไม่เป็นไปตามข้อ จำกัด นี้ "
คำตอบของคุณไม่จำเป็นต้องเป็นอย่างใดอย่างหนึ่งข้างต้น ฉันแค่นำเสนอประเภทของคำตอบที่ฉันคิดว่าน่าจะเป็นประโยชน์มากที่สุด: คำตอบที่เน้นภาษาที่เป็นทางการ
ขอขอบคุณที่อ่านจนจบและฉันหวังว่านี่จะทำให้ปัญหาที่ฉันต้องการแก้ไขชัดเจนเพียงพอ
$\dagger$ตามที่ Mauro ALLEGRANZA ชี้ให้เห็นกรณีนี้เหมาะสมเป็นพิเศษ ตามที่เขาวางไว้:
ลองคิดดู: มีสัจพจน์บางอย่างในทฤษฎีของคุณที่บอกว่าไม่ใช่ทุกวัตถุที่เป็นผู้ใหญ่?
ซึ่งฉันเห็นด้วยกับ. แต่มีปัญหาที่หนึ่ง: ruleset ไม่ควรปล่อยให้เรื่องนี้
ก่อนหน้านี้ในบทเดียวกันก่อนที่กฎจะถูกกำหนดวัตถุประสงค์ของพวกเขาจะถูกวางไว้ " หลักเกณฑ์สำหรับคำจำกัดความที่เหมาะสม " วัตถุประสงค์คือการแยกสัจพจน์ออกจากนิยาม ข้อแรก ( เกณฑ์การกำจัด ) ไม่สำคัญสำหรับความเข้าใจนี้ แต่ประการที่สองคือ
เกณฑ์ของความคิดสร้างสรรค์ไม่ระบุว่าคำนิยาม$S$ ไม่สร้างสรรค์หาก:
ไม่มีสูตร $T$ ซึ่งสัญลักษณ์ใหม่จะไม่เกิดขึ้นเช่นนั้น $S \rightarrow T$ ได้มาจากสัจพจน์และคำจำกัดความก่อนหน้าของทฤษฎี แต่ $T$ ไม่น่าเชื่อถือ
วัตถุประสงค์ของชุดกฎคือเพื่อรับประกันว่าคำจำกัดความของเราเป็นไปตามเกณฑ์ทั้งสองนี้ ตามที่ระบุไว้ในหน้า 155: "[... ] เราหันไปใช้งานในการระบุกฎของคำจำกัดความซึ่งจะรับประกันความพึงพอใจของเกณฑ์สองข้อของการกำจัดและการไม่สร้างสรรค์ "
ในตัวอย่างความเป็นพ่อแม่ของฉันเรามีประโยคแรกเป็นสัจพจน์และคำที่สองเป็นคำจำกัดความ อย่างไรก็ตามภายในทฤษฎีนั้นคำสั่ง$\forall a [\text{isAdult}(a)]$ ไม่มีสัญลักษณ์ใหม่และได้มาจากนิยามใหม่ แต่ไม่ได้มาจากสัจพจน์เพียงอย่างเดียวซึ่งจะทำให้คำจำกัดความนั้นสร้างสรรค์
ดังนั้นในกรณีนี้คำถามของฉันจึงกลายเป็น: คำจำกัดความมีความคิดสร้างสรรค์ได้อย่างไรในเมื่อชุดกฎควรจะรับประกันความไม่สร้างสรรค์
คำตอบ
ชุดกฎที่มอบให้โดยหนังสือไม่สมบูรณ์ ตัวอย่างที่มาที่คุณให้นั้นขึ้นอยู่กับการตรวจสอบข้อเท็จจริงเช่นกัน คุณได้ข้อสรุปที่ขัดแย้งกัน (ดูเหมือน) เนื่องจากข้อ จำกัด (iv) ไม่ได้ถืออยู่ในตัวอย่างใด ๆ ของคุณ
ในตัวอย่างแรกของคุณสูตร $S$ หมายถึงสิ่งต่อไปนี้: "$v_2 \text{ is a function } \wedge \langle v_1,w \rangle \in v_2$"ข้อ จำกัด (iv) จึงไม่เป็นที่พอใจเว้นแต่ว่าต่อไปนี้จะเป็นทฤษฎีบทของทฤษฎีที่กำลังพิจารณา:
$$\exists! w. v_2 \text{ is a function } \wedge \langle v_1,w \rangle \in v_2 $$
ซึ่งตั้งแต่นั้นมา $v_1,v_2$ เป็นตัวแปรอิสระที่แตกต่างกันถือได้อย่างแม่นยำหาก
$$\forall v_1. \forall v_2. \exists! w. v_2 \text{ is a function } \wedge \langle v_1,w \rangle \in v_2 $$
เป็นทฤษฎีบทของทฤษฎีของคุณเช่นกัน ไม่จำเป็นต้องพูดประโยคหลังนี้ไม่ได้เป็นทฤษฎีบทของทฤษฎีเซตที่สมเหตุสมผล โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันจะบ่งบอกว่า "$\forall v. v \text{ is a function }$" ด้วยตัวมันเอง.
ในตัวอย่างที่สองของคุณสูตร $S$ หมายถึงสิ่งต่อไปนี้: "$\text{isAdult}(v_1) \wedge \text{isAdult}(v_2) \wedge \text{parentsOf}(v_1,v_2,w) \wedge \text{isSingleChild}(w)$"ข้างต้นข้อ จำกัด (iv) ไม่เป็นที่พอใจเว้นแต่ว่าต่อไปนี้เป็นทฤษฎีบทของทฤษฎีที่กำลังพิจารณา:
$$ \forall v_1. \forall v_2. \exists! w. \text{isAdult}(v_1) \wedge \text{isAdult}(v_2) \wedge \text{parentsOf}(v_1,v_2,w) \wedge \text{isSingleChild}(w) $$
แต่ถ้าประโยคที่ให้ไว้ข้างต้นเป็นทฤษฎีบทของทฤษฎีของคุณคุณก็สามารถพิสูจน์ได้แล้ว (โดยตรงเริ่มจากประโยคด้านบนเป็นหลักฐานและใช้ $\forall E$, $\wedge E$ และ $\forall I$) ว่า $\forall v_1. \text{isAdult}(v_1)$ เป็นทฤษฎีบทของทฤษฎีของคุณ