ปัญหาการทดสอบไอโซมอร์ฟิซึมที่ "ละเอียดอ่อน": $\mathbb{Z}\ltimes_{A} \mathbb{Z}^5\cong \mathbb{Z}\ltimes_{B}\mathbb{Z}^5$ หรือไม่?
แก้ไข : ฉันทำผิดพลาดกับเมทริกซ์ ตอนนี้ได้รับการแก้ไขแล้ว
สองสามวันก่อนฉันถามคำถามนี้ ที่นั่นผู้ตอบให้คำแนะนำที่ดีเยี่ยมในการไขคดีนั้นและคนอื่น ๆ ด้วย แต่ฉันพบเมทริกซ์สองตัวที่ฉันต้องแยกแยะกลุ่มที่เกี่ยวข้องและฉันไม่สามารถแก้ปัญหาด้วยเทคนิคเหล่านั้นได้ (ดูด้านล่าง)
ฉันเกือบจะเสร็จสิ้นภารกิจในการวิเคราะห์เมทริกซ์และกลุ่มเหล่านี้แล้วและฉันคิดว่าต่อไปนี้เป็นตัวอย่างสุดท้ายที่ฉันจะแยกแยะ
ปล่อย $A=\begin{pmatrix} 1&0&0&0&0\\0&0&-1&0&0 \\ 0&1&-1&0&0\\ 0&0&0&0&-1\\0&0&0&1&1\end{pmatrix}=1\oplus A'$ และ $B=\begin{pmatrix} 1&0&0&0&0\\ 0&0&-1&1&0\\0&1&-1&0&0\\0&0&0&0&-1\\0&0&0&1&1\end{pmatrix}=1\oplus B'$.
คำถาม: isomorphic $G_A=\mathbb{Z}\ltimes_A \mathbb{Z}^5$ และ $G_B=\mathbb{Z}\ltimes_B\mathbb{Z}^5$เหรอ? อีกครั้งฉันคิดว่ามันไม่ใช่
ความคิดและความก้าวหน้า :
$\bullet$ $B$ ไม่ผันเข้ากับ $A$ หรือ $A^{-1}$ ใน $\mathsf{GL}_5(\mathbb{Z})$ แต่พวกเขาอยู่ใน $\mathsf{GL}_5(\mathbb{Q})$. ทั้งคู่เป็นลำดับที่ 6 และมี 1 เป็นค่าลักษณะเฉพาะ
$\bullet$ฉันคำนวณคลาสกลางเลขชี้กำลัง 2 และ 3 ได้ถึง 11 (ตามที่ผู้ตอบสอนฉันในคำถามก่อนหน้านี้) และได้ผลลัพธ์เป็นไอโซมอร์ฟิก pQuotients การนำเสนอคือ:
> GA := Group<a,b,c,d,e,t | (a,b), (a,c), (a,d), (a,e), (b,c), (b,d), (b,e), (c,d), (c,e), (d,e),
> a^t=a, b^t=b^-1*c^-1, c^t=b, d^t=d*e^-1, e^t=d>;
>
> GB := Group<a,b,c,d,e,t | (a,b), (a,c), (a,d), (a,e), (b,c), (b,d), (b,e), (c,d), (c,e), (d,e),
> a^t=a, b^t=b^-1*c^-1, c^t=b, d^t=b*c*d*e^-1, e^t=b*c*d>;
$\bullet$ฉันพบในบทความนี้ Corollary 8.9 (cf Prop 4.2 และ Def 4.3) ว่าถ้าฉันมี$\mathbb{Z}\ltimes_{A'} \mathbb{Z}^4$ และ $\mathbb{Z}\ltimes_{B'}\mathbb{Z}^4$ ดังนั้นผลิตภัณฑ์กึ่งทางตรงเหล่านั้นจะไม่เป็นไอโซมอร์ฟิกเพราะ $B'\not\sim A',(A')^{-1}$ ใน $\mathsf{GL}_5(\mathbb{Z})$ (และเนื่องจากไม่มี 1 เป็นค่าลักษณะเฉพาะ) แต่ฉันไม่รู้ว่าจะเชื่อมโยงผลิตภัณฑ์กึ่งไดเร็คเหล่านี้กับผลิตภัณฑ์ดั้งเดิมที่ฉันมีได้อย่างไร
$\bullet$ $G_A^{ab}\cong G_B^{ab}\cong \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}_3$. นอกจากนี้ฉันพยายามคำนวณผลหาร$G/\gamma_i(G)$ (สำหรับ $i\geq 2$) ที่ไหน $\gamma_i=[\gamma_{i-1}(G),G]$ และ $\gamma_1=[G,G]$ และทั้งหมดเป็นไอโซมอร์ฟิก
$\bullet$ คิดถึง $\Gamma_A=(G_A/Z(G_A))$ และ $\Gamma_B=(G_B/Z(G_B))$ ฉันเข้าใจ $\Gamma_A\cong \mathbb{Z}_6\ltimes_{A'}\mathbb{Z}^4$ และ $\Gamma_B\cong \mathbb{Z}_6\ltimes_{B'}\mathbb{Z}^4$ และฉันคำนวณ abelianization ($\mathbb{Z}_6\oplus\mathbb{Z}_3$) และ pQuotients ที่นี่ด้วย แต่ฉันก็แยกแยะไม่ออกเหมือนกัน
> Gamma_A := Group<a,b,c,d,t | (a,b), (a,c), (a,d), (b,c), (b,d),
> (c,d), t^6, a^t=a^-1*b^-1, b^t=a, c^t=c*d^-1, d^t=c>;
>
> Gamma_B := Group<a,b,c,d,t | (a,b), (a,c), (a,d), (b,c), (b,d),
> (c,d), t^6, a^t=a^-1*b^-1, b^t=a, c^t=a*b*c*d^-1, d^t=a*b*c>;
ฉันหวังว่าจะมีคนช่วยฉันอีกครั้งในเรื่องนี้
คำตอบ
อ้างสิทธิ์. กลุ่มต่างๆ$G_A$ และ $G_B$ ไม่ใช่ isomorphic
เราจะใช้คำนามต่อไปนี้
เลมมา. ปล่อย$\Gamma_A = G_A/Z(G_A) = C_6 \ltimes_{A'} \mathbb{Z}^4$ และ $\Gamma_B = G_B/Z(G_B) = C_6 \ltimes_{B'} \mathbb{Z}^4$, ที่ไหน $C_6 = \langle \alpha \rangle$ คือกลุ่มคำสั่งแบบวนรอบ $6$ และ $A'$ และ $B'$ ได้มาจาก $A$ และ $B$ตามลำดับโดยลบแถวแรกและคอลัมน์แรก ปล่อย$M_A \Doteq [\Gamma_A, \Gamma_A]$ และ $M_B \Doteq [\Gamma_B, \Gamma_B]$ เป็นกลุ่มย่อยที่ได้รับที่เกี่ยวข้องซึ่งถือว่าเป็น $\mathbb{Z}[C_6]$- โมดูลที่ $\alpha$ ทำหน้าที่เป็น $A'$ บน $M_A$ และเป็น $B'$ บน $M_B$. จากนั้นเรามีสิ่งต่อไปนี้$\mathbb{Z}[C_6]$- การนำเสนอโมดูล: $$M_A = \langle x, y \vert \, (\alpha^2 + \alpha + 1)x = (\alpha^2 - \alpha + 1)y = 0\rangle $$ และ $$ M_B = \langle x \,\vert \, (\alpha^4 + \alpha^2 + 1)x = 0\rangle $$
หลักฐาน. ใช้คำอธิบายของ$M_A$ เช่น $(A' - 1_4) \mathbb{Z}^4$ และสังเกตวิธีการ $A'$ แปลงเวกเตอร์คอลัมน์ของ $A' - 1_4$. ทำเช่นเดียวกันสำหรับ$M_B$.
ขณะนี้เราอยู่ในฐานะที่จะพิสูจน์ข้อเรียกร้อง
หลักฐานการอ้างสิทธิ์ มันเพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่า$\Gamma_A$ และ $\Gamma_B$ไม่ใช่ isomorphic isomorphism$\phi: \Gamma_A \rightarrow \Gamma_B$ จะทำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึม $M_A \rightarrow M_B$ของกลุ่ม Abelian อย่างที่เราจำเป็นต้องมี$\phi((\alpha, (0, 0, 0, 0))) = (\alpha^{\pm 1}, z)$ สำหรับบางคน $z \in \mathbb{Z}^4$ และเนื่องจากการนำเสนอของคำศัพท์ข้างต้นยังคงไม่เปลี่ยนแปลงหากเราแทนที่ $\alpha$ โดย $\alpha^{-1}$, isomorphism $\phi$ จะทำให้เกิด isomorphism ของ $\mathbb{Z}[C_6]$- โมดูล เป็นไปไม่ได้เพราะ$M_A$ ไม่สามารถสร้างโดยน้อยกว่าสององค์ประกอบในขณะที่ $M_B$ เป็นวงจรมากกว่า $\mathbb{Z}[C_6]$. สังเกตอย่างนั้นจริงๆ$M_A$ เข้าสู่ $\mathbb{F}_4 \times \mathbb{F}_4$ ที่ไหน $\mathbb{F}_4 \simeq \mathbb{Z}[C_6]/(2, \alpha^2 + \alpha + 1)$ คือสนามที่มีสี่องค์ประกอบ
ภาคผนวก 1.ให้$G$ เป็นกลุ่มที่สร้างขึ้นอย่างประณีต $G$. เราแสดงโดย$d(G)$ยศ$G$กล่าวคือจำนวนเครื่องกำเนิดไฟฟ้าขั้นต่ำของ $G$. สำหรับอินสแตนซ์พิเศษทั้งสองนี้เรามี$d(G_A) = 4$ และ $d(G_B) = 3$.
โดยทั่วไปอาจเป็นเรื่องยากที่จะคำนวณอันดับของกลุ่ม แต่มีความรู้บางอย่างสำหรับ $G_A$ และส่วนขยายอื่น ๆ แยกตามกลุ่มวัฏจักรโปรดดู [1, Corollary 2.4] และ [2, Theorem A และ Section 3.1]
ให้เราตั้งค่า $G_A = \mathbb{Z} \ltimes_A N_A$ ด้วย $N_A \Doteq \mathbb{Z}^n$. แล้ว$N_A$ สามารถประกอบกับโครงสร้างของ $\mathbb{Z}[C]$ โมดูลที่ไหน $C \subset G_A$ คือกลุ่มวัฏจักรที่ไม่มีที่สิ้นสุดที่สร้างขึ้นโดย $a \Doteq (1, (0, \dots, 0)) \in G_A$ ซึ่งทำหน้าที่ $N_A$ ผ่านการผันคำกริยาหรือเท่า ๆ กันโดยการคูณด้วย $A$.
ปล่อย $R$ เป็นแหวนเดียวและปล่อยให้ $M$ สร้างขึ้นอย่างประณีต $R$-โมดูล. เราแสดงโดย$d_R(M)$ จำนวนเครื่องกำเนิดไฟฟ้าขั้นต่ำของ $M$ เกิน $R$. จากนั้นผลลัพธ์ที่กล่าวมาก็บอกเป็นนัยว่า$$d(G_A) = d_{\mathbb{Z}[C]}(N_A) + 1.$$
ให้เราแสดงโดย $(e_1, \dots, e_n)$ พื้นฐานที่เป็นที่ยอมรับของ $\mathbb{Z}^n$. สำหรับ$A$ และ $B$ เช่นเดียวกับคำถามของ OP มันง่ายที่จะได้รับสิ่งต่อไปนี้ $\mathbb{Z}[C]$- การนำเสนอโมดูล: $$N_A = \langle e_1, e_2, e_4 \, \vert (a - 1)e_1 = (a^2 + a + 1)e_2 = (a^2 - a + 1)e_4 = 0 \rangle$$ และ $$N_B = \langle e_1, e_5 \, \vert (a - 1)e_1 = (a^4 + a^2 + 1)e_5 = 0 \rangle.$$
จากการนำเสนอเหล่านี้และสูตรการจัดอันดับข้างต้นเราสามารถสรุปอัตลักษณ์ที่อ้างสิทธิ์ได้อย่างง่ายดายนั่นคือ $d(G_A) = 4$ และ $d(G_B) = 3$.
ภาคผนวก 2.ให้$C_A$ เป็นกลุ่มย่อยที่เป็นวัฏจักรของ $G_A$ ที่สร้างขึ้นโดย $a \Doteq (1, (0, \dots, 0))$ และ $K_A$ ที่ $\mathbb{Z}[C_A]$- โมดูลที่กำหนดไว้ในคำตอบของ Johannes Hahn (และต่อมาเป็นของฉัน) สำหรับคำถาม MOนี้ ปล่อย$\omega(A)$ เป็นคำสั่งของ $A$ ใน $\text{GL}_n(\mathbb{Z})$ที่เราถือว่า จำกัด และตั้งค่า $e_0 \Doteq (\omega(A), (0, \dots, 0)) \in G_A$. ให้เราแสดงโดย$(e_1, \dots, e_n)$ พื้นฐานที่เป็นที่ยอมรับของ $\mathbb{Z}^n \triangleleft G_A$.
เป็นที่ยอมรับกันแล้วว่าทั้งคู่ $\{K_A, K_{A^{-1}}\}$ ของ $\mathbb{Z}[C]$-modules เป็นค่าคงที่ของ isomorphism $G_A$, ที่ไหน $C = C_A \simeq C_{A^{-1}}$ ด้วยบัตรประจำตัว $a \mapsto (1, (0, \dots,0)) \in G_{A^{-1}}$. สามารถใช้เพื่อระบุตัวอย่างก่อนหน้านี้และตัวอย่างนี้ได้เช่นกัน
สำหรับกรณีของคำถาม MO นี้การคำนวณที่ตรงไปตรงมาแสดงให้เห็นว่า $$K_A = K_{A^{-1}}= \langle e_0, e_1, e_2, e_4 \, \vert \, (a - 1)e_0 = (a - 1)e_1 = (a^2 + a + 1)e_2 = (a^2 - a + 1)e_4 = 0\rangle$$ และ $$K_B = \langle e_0, e_1, e_5 \, \vert \, (a - 1)e_0 = (a -1)e_1 = (a^4 + a^2 + 1)e_5 = 0\rangle.$$ ตั้งแต่ $d_{\mathbb{Z}[C_A]}(K_A) = 4$ และ $d_{\mathbb{Z}[C_B]}(K_B) = 3$ กลุ่ม $G_A$ และ $G_B$ ไม่ใช่ isomorphic
[1] G. Levitt และ V. Metaftsis, "อันดับของการทำแผนที่ tori และเมทริกซ์ร่วม" , 2010
[2] L. Guyot, "Generators of Split Extensions of Abelians groups by cyclic groups", 2018
การคำนวณต่อไปนี้ดูเหมือนจะแยกความแตกต่างระหว่างกัน
> #LowIndexSubgroups(GA,4);
30
> #LowIndexSubgroups(GB,4);
26
พวกเขามีจำนวน homomorphisms ที่แตกต่างกัน $A_4$:
> #Homomorphisms(GA,Alt(4),Sym(4));
5
> #Homomorphisms(GB,Alt(4),Sym(4));
1
(อาร์กิวเมนต์ตัวเลือกที่สาม $\mathsf{Sym(4)}$ หมายถึงการนับ (homomorphisms แบบคาดเดา) จนถึงการผันคำกริยาใน $\mathsf{Sym(4)}$.)
นี่เป็นอีกแนวทางหนึ่ง:
> P,phi:=pQuotient(GA,3,1);
> AQInvariants(Kernel(phi));
[ 2, 2, 0, 0, 0, 0 ]
> P,phi:=pQuotient(GB,3,1);
> AQInvariants(Kernel(phi));
[ 0, 0, 0, 0 ]
ในความเป็นจริงทั้งสามวิธีนี้ล้วนตรวจพบความแตกต่างของผลหาร จำกัด ของกลุ่ม แต่ฉันรวมไว้ทั้งหมดเพื่อให้คุณเห็นเทคนิคที่เป็นไปได้ในการพิสูจน์ว่าไม่ใช่ไอโซมอร์ฟิซึม
ในท้ายที่สุดเทคนิคเหล่านี้ทั้งหมดอาศัยการดูประเภทต่างๆของผลหารที่คำนวณได้ของกลุ่ม น่าเสียดายที่มีตัวอย่างของกลุ่มที่นำเสนออย่างประณีตที่ไม่ใช่ isomorphic ซึ่งไม่สามารถแยกแยะได้ในรูปแบบนี้ด้วยผลหารที่คำนวณได้ (อันที่จริงความไม่สามารถละลายได้ของปัญหา isomorphism ทั่วไปหมายความว่าต้องมีตัวอย่างดังกล่าว)