ปัญหาเกี่ยวกับ Directed Angles ซึ่งรวมเป็น ${\pi \over 2}$.
ฉันกำลังแก้ส่วนในหนังสือของฉัน (EGMO Lemma 1.30) ที่ผู้เขียนพูดถึงการใช้มุมชี้นำเมื่อฉันเจอ -
คะแนน $A, B, C$ นอนบนวงกลมโดยมีศูนย์กลาง $O$. แสดงว่า$\measuredangle$ $OAC$ = $90^\circ$ - $\measuredangle$ $CBA$.
ขอแสดงความหมายด้วย $\measuredangle$.(ทุกที่)

นี่คือความพยายาม; ผู้เขียนพูดถึงมุมที่กำกับด้วยสีน้ำเงินและจะแสดงให้เห็นว่ามันรวมกันเป็นครึ่งหนึ่ง$\pi$เรเดียน เส้นสีแดงเป็นงานก่อสร้างของฉันเอง
ตามมุมที่กำหนดเรารู้ว่า $\measuredangle$ $CBA$ = $\measuredangle$ $CXA$ = ${1\over 2}$ $\measuredangle$ $COA$(ทฤษฎีบทมุมที่ถูกจารึกไว้)
และก็เช่นกัน$\measuredangle$ $OAC$ = $\measuredangle$ $ACO$ (สามเหลี่ยม $OAC$ คือหน้าจั่ว)
ตอนนี้ตามทฤษฎีบทของมุมชี้นำ $\measuredangle$ $OAC$ $+$ $\measuredangle$ $ACO$ $+$ $\measuredangle$ $COA=0$
แต่หลังจากนี้ในขณะที่เรากำลังทำงานกับโมดูโล $\pi$ เรเดียนมันไม่เข้าใจที่จะคูณหรือหารด้วย $2$ซึ่งฉันต้องทำดังนั้นความพยายามของฉันจึงล้มเหลว
ยินดีต้อนรับคำตอบ
คำตอบ
ตามมุมที่กำหนดเรารู้ว่า $\measuredangle$ $CBA$ = $\measuredangle$ $CXA$ = ${1\over 2}$ $\measuredangle$ $COA$(ทฤษฎีบทมุมที่ถูกจารึกไว้)
และก็เช่นกัน$\measuredangle$ $OAC$ = $\measuredangle$ $ACO$ (สามเหลี่ยม $OAC$ คือหน้าจั่ว)
ตอนนี้ตามทฤษฎีบทของมุมชี้นำ $\measuredangle$ $OAC$ $+$ $\measuredangle$ $ACO$ $+$ $\measuredangle$ $COA=0$
หลังจากนี้เราสามารถเขียน $2\times \measuredangle$ $OAC$ $+$ $\measuredangle$ $COA=0$ และเปลี่ยนตัวใหม่ $\measuredangle$ $COA$ เช่น $2\times \measuredangle$ $CBA$
เราได้รับ, $2\times \measuredangle$ $OAC$ $+$ $2\times \measuredangle$ $CBA=0^\circ (\text{mod}\ 180^\circ)$
ซึ่งเทียบเท่ากับการเขียนเป็น $2\times \measuredangle$ $OAC$ $+$ $2\times \measuredangle$ $CBA=180^\circ (\text{mod}\ 180^\circ)$
หารทั้งสองข้างด้วย $2$และดำเนินการต่อเพื่อรับ $\measuredangle$ $OAC$ + $\measuredangle$ $CBA$ = $90^\circ \ (\text{mod}\ 90^\circ)$
using : If a ≡ b (mod c) and gcd(c, d) = g then a/d ≡ b/d (mod c/g)
ดังนั้นจึงพิสูจน์แล้ว