ปัญหาพีชคณิต Precalculus เกี่ยวกับจำนวนที่เป็นเหตุเป็นผลและไม่ลงตัว

Question

ปล่อย $ a, b $เป็นตัวเลขที่ไม่มีเหตุผล เรารู้ว่า$ a + b $, $ a^3 + b^3 $ และ $ a^2 + b $ มีเหตุผล

ฉันได้พิสูจน์แล้วว่า $ ab $, $ a + b^2 $ยังมีเหตุผล ฉันพยายามหาตัวอย่าง:$ (1 - \sqrt{x}, 1 + \sqrt{x}) $, $ (1 - \sqrt[3]{x}, 1 + \sqrt[3]{x}) $, $ (1 - \sqrt[6]{x}, 1 + \sqrt[6]{x}) $แม้กระทั่งฟังก์ชันตรีโกณมิติ

Answer 1

ใช้ $$(a,b)=\left(\frac{1+\sqrt{r}}{2},\frac{1-\sqrt{r}}{2}\right),$$ ที่ไหน $r\in\mathbb Q$, $r>0$ และ $\sqrt{r}\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$.