เป็นไปได้ไหมที่จะแบ่งพาร์ติชัน $[a,b]\times[c,d]$ ในบล็อกที่ไม่ปะติดปะต่อกัน $D_{ij}$ เซนต์ $\left.f\right|_{D_{ij}}$ เป็น bijective?
พิจารณาฟังก์ชันที่กำหนดโดย $f:[a,b]\times[c,d]\to[0,1]^{2}$ ดังนั้น $0\leq a < b \leq 1$, $0 \leq c < d \leq 1$.
นอกจากนี้เรายังมีสิ่งนั้นด้วย $f\in C^{1}([a,b]\times[c,d],[0,1]^{2})$ และเป็นการคาดเดา
คำถามของฉัน
เป็นไปได้ไหมที่จะแบ่งพาร์ติชัน $[a,b]\times[c,d]$ ในบล็อกที่ไม่ปะติดปะต่อกัน $D_{ij} = [x_{i},x_{i+1}]\times[y_{j},y_{j+1}]$, ที่ไหน $1\leq i \leq m$ และ $1\leq j\leq n$, ดังนั้น $\left.f\right|_{D_{ij}}$ เป็น bijective?
ถ้าเป็นเช่นนั้นมีจำนวนบล็อกขั้นต่ำหรือไม่ $D_{ij}$ ที่ตอบสนองข้อ จำกัด นี้?
ที่นี่ฉันถือว่าฟังก์ชั่น $f$ ไม่คงที่ทุกที่และ $|f^{-1}(\{(x,y)\})| < N$ สำหรับทุกๆ $(x,y)\in[0,1]^{2}$.
คำถามดังกล่าวไม่ใช่การบ้าน มันมาจากการวิจัยส่วนตัวของฉัน
หากคำถามนี้ไม่เพียงพอสำหรับไซต์นี้โปรดแจ้งให้เราทราบ
แก้ไข
คำถามที่ติดตามไปนี้เป็น addressed ที่นี่
คำตอบ
คำตอบคือไม่
เช่นให้ $[a,b]=[c,d]=[0,1]$ และ $$f(x,y):=(g(x),y)$$ สำหรับ $(x,y)\in[0,1]^2$, ที่ไหน $$g(x):=c\,h(x),$$ $$h(x):=x^p (1+a \sin\ln x)$$ สำหรับ $x\in(0,1]$ ด้วย $h(0):=0$, $$p\in(1,\infty),\quad1>a>\frac p{\sqrt{p^2+1}},\tag{0}$$ และ $c:=1/\max_{x\in[0,1]}h(x)$. แล้ว$f$ เป็นการคาดเดา $C^1$ แผนที่จาก $[0,1]^2$ ถึง $[0,1]^2$.
นอกจากนี้สำหรับใด ๆ $(x,y)\in[0,1]^2$ใด ๆ $u\in(0,1]$และอื่น ๆ $v\in[0,1]$ ความเท่าเทียมกัน $f(x,y)=(u,v)$ หมายถึง $y=v$ และ $$\Big(\frac{u/c}{1+a}\Big)^{1/p}\le x\le\Big(\frac{u/c}{1-a}\Big)^{1/p}$$ และด้วยเหตุนี้ $$\frac{\ln(u/c)}p-\frac{\ln(1+a)}p\le \ln x\le\frac{\ln(u/c)}p-\frac{\ln(1-a)}p,\tag{1}$$ ดังนั้น $\ln x$ แตกต่างกันไปมากที่สุด $\frac{\ln(1+a)}p-\frac{\ln(1-a)}p=O(1)$ สม่ำเสมอใน $u\in(0,1]$.
นอกจากนี้ $$g'(x)=cx^{p-1} [p+a (p \sin\ln x+\cos\ln x)] \\ =cx^{p-1} [p+a\sqrt{p^2+1}\,\sin(t+\ln x)]\tag{2}$$ สำหรับของจริง $t$ (ขึ้นอยู่กับ $p$ และ $a$) และทั้งหมด $x\in(0,1]$.
ดังนั้นให้เงื่อนไข (1) $g'(x)$ เปลี่ยนป้ายได้ไม่เกิน $n$ ครั้งสำหรับธรรมชาติ $n$ ขึ้นอยู่กับ $p$ และ $a$. ดังนั้น,$|f^{-1}(u,v)|\le n+1$ สำหรับใด ๆ $(u,v)\in(0,1]\times[0,1]$. นอกจากนี้$f^{-1}(0,v)=\{(0,v)\}$ สำหรับใด ๆ $v\in[0,1]$. ดังนั้น,$|f^{-1}(u,v)|\le n+1$ สำหรับใด ๆ $(u,v)\in[0,1]\times[0,1]$.
ในทางกลับกันตามจาก (2) และ (0) นั้น $g'$ เปลี่ยนป้ายหลายครั้งในละแวกที่ถูกต้องของ $0$. ดังนั้นข้อ จำกัด ของ$f$ ไปยังสี่เหลี่ยมผืนผ้าใด ๆ ที่มีจุดยอดเป็น $(0,0)$ ไม่ได้เป็นอคติ
สำหรับภาพประกอบด้านล่างนี้คือกราฟ $\{(e^{-1/t},\ln h(e^{-1/t}))\colon0<t<1\}$ (ซ้าย) และ $\{(e^{-1/t},\ln h(e^{-1/t}))\colon0<t<0.1\}$ (ขวา) สำหรับ $p=3/2$ และ $a=9/10$. กราฟเหล่านี้จะปรับขนาดแบบไม่เป็นเชิงเส้น (แนวนอนและแนวตั้งเพื่อการรับรู้ที่ดีขึ้น) ของกราฟของฟังก์ชัน$h$ ในละแวกที่ถูกต้องของ $0$.
