เป็นไปได้ไหมที่จะหาจำนวนเต็ม (nonsquare) ซึ่งเป็นโมดูโลเศษที่เหลือกำลังสองซึ่งเป็นรายการราคาที่ไม่สิ้นสุดที่กำหนด
ฉันสงสัยว่ามันจะเป็นไปได้หรือไม่โดยให้ไพรม์พีและลิสต์ไพรม์ที่ไม่สิ้นสุด $q_1$, $q_2$, ... เพื่อหาจำนวนเต็ม d ซึ่ง (1) ไม่ใช่สแควร์ mod p แต่ (2) เป็นตัวดัดแปลงกำลังสอง$q_i$สำหรับฉันทั้งหมด เสมอบางครั้งไม่เคย? บางที --- มีเงื่อนไขอะไรบ้าง? ในแอปพลิเคชันที่ฉันนึกถึงไฟล์$q_i$ ล้วนเป็นตัวหารเฉพาะของตัวเลข $p^{2^n}-1$ เนื่องจาก n มีค่าตั้งแต่ 1 ถึงอินฟินิตี้ แต่ค่อนข้างยืดหยุ่น
(แอปพลิเคชันเกี่ยวข้องกับการแก้ไข p-adic ของเลขชี้กำลังของจำนวนเต็มเชิงเหตุผลและขยายไปยังวงแหวนของจำนวนเต็มในอาคารของฟิลด์จำนวน)
[ETA: ฉันลืมที่จะพูดถึงว่า d ควรเป็น mod 8 สำหรับแอปพลิเคชันซึ่งจะกำหนดคำตอบของ -1 ที่ระบุไว้ด้านล่างนี้]
สำหรับรายการ จำกัด d สามารถสร้างได้โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน แต่ดูเหมือนจะไม่ช่วยอะไรที่นี่
เมื่อพิจารณาถึง d การต่างตอบแทนกำลังสองจะให้ชุดของไพรม์ที่ไม่สิ้นสุดซึ่ง d คือกำลังสอง แต่ฉันต้องการไพรม์ที่ระบุก่อน
Grunwald-Wang พูดว่าถ้าฉันเข้าใจถูกต้องเงื่อนไขนั้น (1) แสดงว่า d ไม่ใช่โมดูโลสี่เหลี่ยม$q$ สำหรับช่วงเวลามากมาย $q$แต่ไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับ primes ที่ d เป็นกำลังสอง
Chebotarov Density Theorem ดูเหมือนจะบอกเป็นนัยว่าชุดของ d ที่เป็นไปได้มีความหนาแน่นเป็นศูนย์ แต่ไม่ได้แยกแยะ (หรือบอกเป็นนัยว่า) ว่ามี d ตัวใดตัวหนึ่งอยู่
ขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือแหล่งข้อมูลหรือคำแนะนำ!
---- จอช
คำตอบ
ขึ้นอยู่กับรายการช่วงเวลาที่กำหนด เงื่อนไขที่ง่ายกว่า แต่จำเป็นคือมีไฟล์$d$ เพื่อให้ทุกช่วงของรายการ (มากกว่า $d$) มีความเข้มข้นในชั้นเรียนที่สอดคล้องกันไม่กี่ชั้น $\bmod 4d.$ เราสามารถยึดติดกับตัวหารไพรม์คี่ได้เนื่องจากทุกอย่างเป็นเศษส่วนกำลังสอง $\bmod 2.$
หากรายการเป็นช่วงเวลาที่สอดคล้องกันทั้งหมด $1 \bmod 4$ แล้ว $-1$เป็นสารตกค้างกำลังสองทั่วไป นั่นอาจดูไม่น่าตื่นเต้นเท่าไหร่
หากรายการเป็นตัวหารไพรม์คี่ทั้งหมดของ $3^{2^n}-1$ เช่น $n$ ช่วงของจำนวนเต็มบวกแล้ว $-1$เป็นสารตกค้างกำลังสองทั่วไปอีกครั้ง นั่นคือสิ่งที่คุณกล่าวถึง แต่เหตุผลก็คือช่วงเวลาเหล่านั้นทั้งหมด$1 \bmod 4$
ถ้าฉันไม่เข้าใจผิดและด้วยเหตุผลเดียวกัน $-1$ เป็นเศษส่วนกำลังสองทั่วไปของตัวหารที่สำคัญของ $p^{2^n}-1$ เช่น $n$ ช่วงมากกว่าจำนวนเต็มเริ่มต้นที่ $2.$
สำหรับบางช่วงเวลาเช่น $5,7,17,19,31,53,59$ เราสามารถขยายรายการเป็นตัวหารที่สำคัญทั้งหมดของ $p^{2^n}-1$ ยกเว้น $3.$ โดยทั่วไปก็เพียงพอแล้วที่จะทิ้งตัวหารของ $p^2-1$ ซึ่ง ได้แก่ $3 \bmod 4.$
ข้อเท็จจริงที่อยู่เบื้องหลังนี้คือ
- $p^{2^n}-1=(p-1)(p+1)(p^2+1)(p^4+1)\cdots(p^{2^{n-1}}+1)$
- ทุกปัจจัยแปลก ๆ ของ $p^{2^m}+1$ เป็นของแบบฟอร์ม $2^{m+1}q+1$
- $-1$ เป็นสารตกค้างกำลังสองสำหรับช่วงเวลาซึ่ง ได้แก่ $1 \bmod 4.$
คิดก่อนเกี่ยวกับคำถาม (ง่าย ๆ ) นี้ สำหรับคงที่$d$ ราคาแปลก ๆ คืออะไร $q$ ดังนั้น $d$ คือกากกำลังสอง $\bmod q?$ เรียกชุดนี้ $G_d.$ เราอาจสันนิษฐานได้ว่า $d$ เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสฟรี
จากนั้นสมาชิกของ $G_d$ เป็นตัวหารที่สำคัญของ $d$ พร้อมกับช่วงเวลาเหล่านั้นในการรวมกันของชั้นเรียนที่สอดคล้องกัน $\bmod 4d.$ ครึ่งหนึ่งของชั้นเรียน $(r \bmod 4d)$ ด้วย $\gcd(r,4d)=1$
ในบางกรณี ($d$ แม้หรือ $d$ คี่กับตัวหารทั้งหมด $1 \bmod 4$) ก็เพียงพอที่จะพิจารณาชั้นเรียนที่สอดคล้องกัน $\bmod 2d$. อย่างไรก็ตามสิ่งที่เขียนยังคงถูกต้อง ฉันจะไม่สนใจ$p$ บนสมมติฐานที่ว่าเป้าหมายคือการออกกฎ $d$ เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส
จากนั้นเฉพาะ $d$ ใช้งานได้กับปัญหาของคุณโดยเฉพาะอย่างแม่นยำหากรายการที่เลือกเป็นหนึ่งในชุดย่อยที่ไม่มีที่สิ้นสุดจำนวนมากของ $G_d.$
ในทางกลับกันสมมติว่าสมาชิกของรายการ (นอกเหนือจากตัวหารของ $d$ ในรายการถ้ามี) ถูกเลือกจากบางส่วน $k \ll \phi(d)$ ของชั้นเรียนที่สอดคล้องกัน $\bmod 4d$. จากนั้นหากไฟล์$k$ จะถูกเลือกแบบสุ่มโอกาสที่ $d$ จะทำงานน้อยกว่า $2^{-k}$.
เริ่มจากรายการ $\mathbf{q}=q_1,q_2,\cdots$ คำถามแรกคือ "มีเหตุผลบางอย่างที่สงสัยว่ามีไฟล์ $M$ เพื่อให้สมาชิกทั้งหมดของ $\mathbf{q}$ (ไพรม์ถึง $M$) กระจุกตัวอยู่ในชั้นเรียนที่สอดคล้องกัน $\bmod M?$“ ถ้าไม่เกิดขึ้นก็ไม่มีความหวังถ้ามันเกิดขึ้นแน่นอน $M,$ จากนั้นโอกาสยังคงต่ำ
มากขึ้นอยู่กับว่าที่ไหน $\mathbf{q}$ มาจาก.
อย่างไรก็ตามปัญหาในการค้นหาไฟล์ $d$ ซึ่งเป็นกำลังสองที่ไม่ตกค้างเมื่อเทียบกับทั้งหมด $q \in \mathbf{q},$ ก็ยากพอ ๆ กัน