เป็นไปได้ไหมที่จะหาเมทริกซ์มุมฉาก $V\in M_n(\Bbb R)$ เซนต์ $A=VDV^T$ ด้วยคอลัมน์ที่ไม่ได้สัดส่วนกับคอลัมน์ใด ๆ ของ $U$เหรอ?
ปล่อย $A\in M_n(\Bbb R)$ เป็นเมทริกซ์สมมาตรที่มีค่าน้อยกว่า (เคร่งครัด) $n$ค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกัน ตั้งแต่$A$ เป็นเส้นทแยงมุมเราสามารถเขียนเป็น $A=UDU^T$ ที่ไหน $U\in M_n(\Bbb R)$ เป็นมุมฉากและ $D\in M_n(\Bbb R)$ เป็นเส้นทแยงมุม
คำถาม:
เป็นไปได้ไหมที่จะหาเมทริกซ์มุมฉาก $V\in M_n(\Bbb R)$ เซนต์ $A=VDV^T$ ภายใต้เงื่อนไขว่าอย่างน้อยหนึ่งคอลัมน์ของ $V$ ไม่ได้สัดส่วนกับคอลัมน์ใด ๆ ของ $U$เหรอ?
ความคิดของฉัน:
ฉันคิดว่าข้อเท็จจริงมีน้อยกว่า $n$ ค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันรับประกันว่าจะสามารถค้นหาสิ่งนั้นได้ $V$มิฉะนั้นจะเป็นไปไม่ได้
เนื่องจากมีจำนวนน้อยกว่า $n$ ค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันมี eigenspace $E_{\lambda'}$ สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ $\lambda'$ เซนต์ $\dim\left(E_{\lambda'}\right)=k\geqslant 2$.
ปล่อย $\{e_1,\ldots,e_k\}$ เป็นพื้นฐานปกติสำหรับ eigenspace $E_{\lambda'}$ ลองสังเกตระนาบหนึ่งใน $\Bbb R^n$ ทอดโดยพูดว่า $M=\operatorname{span}\{e_1,e_2\}$.
ปล่อย $f_1=\frac{e_1+e_2}{\left\|e_1+e_2\right\|}$. แล้ว$f_2\in M$ เป็นเวกเตอร์หน่วยอื่น (ในระนาบเดียวกัน) st $f_1\perp f_2$.
จริงๆแล้วเราสามารถใช้Gramm-Schmidtกับเกณฑ์ที่เขียนโดยพลการ$\{\alpha e_1+\beta e_2,\gamma e_1+\delta e_2\},\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\Bbb R$.
ฉันคิดว่าฉันสามารถบรรลุผลลัพธ์เดียวกันได้ด้วยการหมุน $e_1$ และ $e_2$ ในเครื่องบิน $M$ สำหรับบางมุม $\varphi\ne k\pi,k\in\Bbb Z$.
หากส่วนนี้ของคำแถลงของฉันถือได้แน่นอนว่า $\{f_1,f_2,e_3,\ldots,e_k\}$ ยังเป็นพื้นฐานปกติสำหรับ $M$. ฉันเชื่อว่าสิ่งนี้สามารถเหนี่ยวนำไว้ได้$M\leqslant E_{\lambda'}$, ที่ไหน $2\leqslant\dim M\leqslant\dim E_{\lambda'}$.
ฉันขอการตรวจสอบคำชี้แจงและคำแนะนำเกี่ยวกับวิธีการพิสูจน์อย่างรัดกุม (dis) ได้หรือไม่
ขอบคุณล่วงหน้า!
คำตอบ
คำตอบคือใช่
ขอแนะนำแนวทางต่อไปนี้ ก่อนอื่นให้สังเกตว่า$$ A = VDV^T = UDU^T \implies\\ VDV^T = UDU^T \implies\\ U^TVDV^TU = U^TUDU^TU \implies\\ (U^TV) D(U^TV)^T = D. $$ ด้วยเหตุนี้จึงปล่อยให้ $W$ หมายถึงเมทริกซ์มุมฉาก $W = U^TV$. เรามี$$ WDW^T = D \implies WD = DW. $$ กล่าวอีกนัยหนึ่ง $W$ เป็นเมทริกซ์มุมฉากที่ $WD = DW$. จำไว้ว่าเมื่อเรามี$W$, เรามี $W = U^TV \implies V = UW$.
ตอนนี้ $A$มีค่าลักษณะเฉพาะซ้ำ ๆ เรียกสิ่งนี้ว่าค่าลักษณะเฉพาะ$\lambda$. สมมติว่าไม่มีการสูญเสียทั่วไป$\lambda$ มาก่อนในรายการแนวทแยงมุมของ $D$, และเขียน $$ D = \pmatrix{\lambda I_k & 0\\0 & D'} $$ ที่ไหน $I_k$ เป็นขนาด $k$ เมทริกซ์เอกลักษณ์ (ด้วย $k \geq 2$) และ $D'$ยังเป็นเส้นทแยงมุม ฉันอ้างว่าถ้า$W_1$คืออะไรก็ได้ $k \times k$ เมทริกซ์มุมฉาก an $W_2$ อยู่ในแนวทแยงกับ $\pm1$แล้วเมทริกซ์บล็อก $$ W = \pmatrix{W_1 & 0\\0 & W_2} $$ จะเป็นมุมฉากและตอบสนอง $WD = DW$. ลองกำหนดว่าสำหรับทางเลือกของเรา$W$, $W_1$ ไม่มีรายการที่เป็นศูนย์
ตอนนี้โปรดทราบว่ารายการของ $W$ คือดอทโปรดัคของคอลัมน์ของ $U$ ด้วยคอลัมน์ของ $V$. ด้วยเหตุนี้สรุปได้ว่าเป็นเพราะคอลัมน์แรกของ$W$ มี $k \geq 2$ รายการที่ไม่ใช่ศูนย์คอลัมน์แรกของ $V$คือไม่ได้เป็นหลายคอลัมน์ใด ๆ ของ$U$.