เป็นไปได้ไหมที่จะเขียนตัวชี้วัดช่องว่างเป็นสหภาพที่ไม่ปะติดปะต่อกันของเซตขนาดกะทัดรัด
ปล่อย $ (X,d)$ เป็นช่องว่างเมตริกแล้วปล่อยให้ $\mu $ เป็นเรดอน $\sigma$- การวัดที่ไม่มีที่สิ้นสุดบน Borel $\sigma$-พีชคณิต. ฉันอ่านพบว่ามีความเป็นไปได้ที่จะพบชุดขนาดกะทัดรัดที่ไม่ปะติดปะต่อกัน$\lbrace K_n\rbrace_{\mathbb{N}}$ และก $\mu$- ชุดเต็ม $N$ ดังนั้น $$ X=\bigcup_{\mathbb{N}}K_n\cup N. $$
ฉันพยายามเข้าถึงผลลัพธ์บางอย่างโดยใช้ความสม่ำเสมอภายในของ $\mu$, แต่ไม่มีอะไร. คำพูดนี้เป็นจริงหรือไม่? ฉันจะพิสูจน์ได้อย่างไร?
คำตอบ
สมมติฐานสำคัญที่นี่คือ $\mu$เป็นหน่วยวัดเรดอนซึ่งหมายความว่าเป็นหน่วยภายในปกติเมื่อเทียบกับชุดขนาดกะทัดรัด หากไม่มีข้อสันนิษฐานนี้ก็ไม่เป็นความจริงแม้ว่า$\mu$ มีข้อ จำกัด (ตัวอย่างเช่นมีช่องว่างเมตริกที่รองรับการวัดต่อเนื่องซึ่งชุดขนาดกะทัดรัดทั้งหมดมีจำนวน จำกัด )
เขียน $X=\bigcup_n X_n$โดยที่แต่ละ $X_n$เป็น Borel ที่ไม่ปะติดปะต่อและมีมาตรการ จำกัด จากนั้นทำซ้ำเลือกขนาดกะทัดรัด$K_{n,m}\subseteq X_n\setminus \bigcup_{m'<m} K_{n,m'}$ ดังนั้น $\mu((X_n\setminus \bigcup_{m'<m} K_{n,m'})\setminus K_{n,m})<1/m$. แล้ว$X_n\setminus \bigcup_{m} K_{n,m}$ เป็นโมฆะและอื่น ๆ $X\setminus\bigcup_{n,m} K_{n,m}$ เป็นโมฆะและ $K_{n,m}$ ไม่ปะติดปะต่อกันอย่างชัดเจน