เป็นไปได้ไหมที่จะมีการสั่งซื้อล่วงหน้าด้วยรูปแบบต่างๆ
ฉันไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ซึ่งค่อนข้างใหม่สำหรับทฤษฎีหมวดหมู่และจะมีคำถามต่อไปนี้:
เป็นไปได้ไหมที่จะมีการสั่งซื้อล่วงหน้าด้วยรูปแบบต่างๆ ทุกคู่ระหว่างทุกวัตถุยังคงมีเพียงหนึ่ง morphism อย่างไรก็ตาม morphism ที่เป็นปัญหานั้นมักจะแตกต่างออกไปเสมอ (ยกเว้นลักษณะเฉพาะของ morphism)
ตัวอย่างที่ไม่เป็นทางการ: ตาม David Spivaks [1] วิธี Olog ลองจินตนาการถึงสุนัขที่หิวโหยที่มักจะกินอาหารที่เจ้าของซื้อมา
สมมติว่ามีวัตถุ 3 อย่าง ได้แก่ Dogowner O, Dog D และ Dog Food F นอกจากนี้ยังมี 4 รูปแบบ ได้แก่ "เป็นเจ้าของ" "กิน" "ซื้อ" (ย่อมาจาก "ซื้ออาหารสุนัข" ซึ่งเป็นสิ่งเดียวที่เขาซื้อ) และ " คือ".
แต่ละวัตถุเป็นตัวของมันเองดังนั้นจึงมี morphism "เป็น" จากแต่ละวัตถุเป็นของตัวเอง ดังนั้น D "เป็นเจ้าของ" O, O "กิน" F และ D "ซื้อ" F ในที่สุดสุนัขก็มักจะหิวและกินอาหารทั้งหมดที่ให้มาดังนั้นจึงควรถือว่า
"เป็นเจ้าของ" o "กิน" = "ซื้อ".
คำถามในกรณีนี้: จะเป็นการสั่งซื้อล่วงหน้าหรือไม่? เป็นไปตามเกณฑ์ทั้งหมดสำหรับหมวดหมู่: มีการระบุสัณฐานของตัวตนและองค์ประกอบ ต่อไปนี้ [2] ยังเป็นไปตามเกณฑ์สำหรับการสั่งซื้อล่วงหน้าที่ว่า "proset เป็นหมวดหมู่บาง (เข้มงวด): หมวดหมู่ที่เข้มงวดสำหรับคู่ของวัตถุ x, y จะมี morphism จาก x ถึง y มากที่สุด "
อย่างไรก็ตามฉันไม่เห็นสิ่งที่คล้ายกันในตัวอย่างทั่วไป: ⊆และ≤เป็นตัวอย่างปกติสำหรับการสั่งซื้อล่วงหน้าและเป็นรูปแบบเดียวที่ใช้กับวัตถุในหมวดหมู่
ขอแสดงความนับถือ Pavel
PS: ฉันไม่สามารถหาตัวอย่างที่ "เป็นทางการ" ได้มากกว่านี้ซึ่งอาจเป็นตัวบ่งชี้ว่าฉันมาผิดทาง
แหล่งที่มา:
[1] Spivak, David I, Robert E. Kent, "Ologs: กรอบหมวดหมู่สำหรับการเป็นตัวแทนความรู้" https://journals.plos.org/plosone/article?id=10.1371/journal.pone.0024274
[2] https://ncatlab.org/nlab/show/preorder
คำตอบ
ใช่นี่คือการสั่งซื้อล่วงหน้า หนึ่งในความเข้าใจที่สำคัญของทฤษฎีหมวดหมู่คือบ่อยครั้งคุณสมบัติที่เป็นนามธรรมของวัตถุ (และสัณฐานระหว่างวัตถุ) มีความสำคัญมากกว่าคำอธิบายที่เป็นรูปธรรม ตามที่คุณได้ระบุไว้หมวดหมู่ที่คุณอธิบายไม่ได้ "ดูเหมือนการสั่งซื้อล่วงหน้า" เนื่องจากรูปแบบไม่ได้ระบุชื่อเช่น$\subseteq$ หรือ $\leq$. แต่ทฤษฎีหมวดหมู่ไม่สนใจชื่อ หมวดหมู่ของคุณเป็นไปตามคำจำกัดความของการสั่งซื้อล่วงหน้าดังนั้นเช่นหากคุณมีทฤษฎีบทแปลก ๆ เกี่ยวกับการสั่งซื้อล่วงหน้าการสั่งซื้อล่วงหน้าจะเป็นการใช้งานได้กับหมวดหมู่นี้
คำตอบสั้น ๆ คือใช่ ชื่อ / ความหมายของ morphisms ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของข้อมูล: สิ่งที่สำคัญคือวิธีการเขียน morphisms โปรดจำไว้ว่าการกำหนดหมวดหมู่คือการระบุชุดของวัตถุและชุดของสัณฐาน (พร้อมกับตัวตนและองค์ประกอบ) (อาจเป็นไปได้ว่า$\{ \text{owns}, \text{eats}, \text{buys} \}$ ไม่ได้พูดอย่างเคร่งครัดคือชุดที่มีรูปร่างดีเนื่องจากองค์ประกอบเบื้องต้นยังไม่ได้รับการกำหนดแม้ว่าโดยทั่วไปแล้วจะไม่เป็นอันตรายที่จะพิจารณาว่าเป็นชุดเนื่องจากการใช้ชุดคาร์ดินาลิตี้ 3 ใด ๆ จะเหมาะสม) คุณควร อย่าลังเลที่จะติดป้ายชื่อ morphisms ตามที่คุณต้องการ: หากคุณลืมชื่อและเพียงพิจารณากราฟที่อยู่ข้างใต้พร้อมกับโครงสร้างขององค์ประกอบคุณจะเห็นว่าคุณมีการสั่งซื้อล่วงหน้า