แผนที่รวมในท่อร่วมแบบเรียบ
ให้ท่อร่วมที่ราบรื่น $M$ และเป็น submanifold $S$(เช่นชุดย่อยเปิดของ $M$) เรามีแผนที่รวม $i:S\to M$.
และเรารักษา $i$ เช่น $i(x) = x$ โดยทั่วไป
ตัวอย่างเช่น $i:S^n \to \mathbb{R}^{n+1}$ สามารถกำหนดได้ $i(x) = x$ แต่ดูเหมือนว่าจะไม่รวม $i:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{n+1}$ เช่น $(x_1,...,x_n) \to (x_1,...,x_n,0)$
ดังนั้นฉันจึงสับสนเล็กน้อยว่าคำจำกัดความของการรวมที่นี่คืออะไรเราควรถือว่าเป็นอย่างไร $i(x) = x$เหรอ?
"การรวม" นี้เป็นการฝังโทโพโลยีตามค่าเริ่มต้นหรือไม่
ฉันพบคำอธิบายที่นี่
คำตอบ
มีรายละเอียดปลีกย่อยที่ลึกซึ้งกว่านั้น: ความคิดของsubmanifoldสามารถทำให้เกิดความสับสนได้มาก: คุณต้องการให้ submanifold แช่อยู่คุณต้องการให้เป็น submanifold แบบฝังหรือไม่?
submanifold แช่ $S$ ของหลาย ๆ $M$คือภาพของท่อร่วมที่อยู่ภายใต้การแช่ การแช่เป็นแผนที่เรียบที่มีอนุพันธ์แบบฉีด
การฝังเป็นการฝังแบบโทโพโลยีนั่นคือการสร้างแบบโฮมมอร์ฟิสซึ่มลงบนภาพของมัน (เกี่ยวกับโทโพโลยีชนิดย่อย) ซึ่งเป็นการฝังแบบฉีด
หมายเหตุ!: การแช่ไม่จำเป็นต้องฉีดหรือฝังโทโพโลยี!
แผนที่รวมถูกกำหนดไว้เสมอว่า $i(x) = x$ .
เหตุผลที่เราโทร $(x_1,...,x_n) \to (x_1,...,x_n,0)$ แผนที่รวมอยู่ภายใต้การแสดงพิกัดจะมีแบบฟอร์มนี้ แต่สำหรับ submanifold แบบฝัง $S\subset M$. การรวมคือ$i(x) = x$
เมื่อเราพูดถึงท่อร่วมแบบเรียบเราไม่ควรคิดว่าแผนผังรวมเป็นการฝังโทโพโลยี
ถ้า $S\subset M$ เป็น submanifold เรียบและ $S$ มีโทโพโลยีย่อยเราสามารถสันนิษฐานได้ $i$ เป็นการฝังโทโพโลยี