พิสูจน์การมีอยู่ของโซลูชันสำหรับ ODE $-s\varphi' + f'(\varphi)\varphi' = \varphi''$

Question

ปล่อย $f : \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ แตกต่างเป็นสองเท่าด้วย $f'' > 0$และปล่อยให้ $u_- > u_+$เป็นตัวเลขจริง แสดงว่ามีทางออก$\varphi(x)$ สมการเชิงอนุพันธ์ต่อไปนี้: $$ -s\varphi' + f'(\varphi)\varphi' = \varphi'' \tag{1} $$ ดังนั้น $\lim_{x \to \pm\infty} \varphi(x) = u_\pm$, และที่ไหน $s = \frac{f(u_+) - f(u_-)}{u_+ - u_-}$.

---

ความพยายามครั้งแรกของฉันคือการสังเกตว่า DE นี้สามารถรวมเข้ากับสิ่งต่อไปนี้ได้อย่างดี: $$ \varphi' = f(\varphi) - s\varphi + C \tag{2} $$ ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะแสดงการมีอยู่ของโซลูชันสำหรับ DE นี้แทนซึ่งเรามีอิสระที่จะเลือก $C$. ฉันพยายามที่จะนำ RHS มาสู่ LHS ซึ่งให้:$$ \int \frac{1}{f(\varphi) - s\varphi + C} \; \mathrm{d}\varphi = x + D $$ ที่ไหน $D \in \Bbb{R}$. ดังนั้นหากเรากำหนด:$$ g(x) = \int \frac{1}{f(x) - sx + C} \; \mathrm{d}x $$ และสมมติว่า $g$ กลับไม่ได้แล้ว $\varphi(x) = g^{-1}(x)$ จะเป็นวิธีแก้ปัญหา $(2)$. อย่างไรก็ตามมีปัญหาบางประการในแนวทางนี้ที่เราต้องแก้ไข:

1. อินทิกรัลจะไม่สมเหตุสมผลถ้า $f(\varphi) - s\varphi + C$ หายไปในบางจุด $\Bbb{R}$. ตามที่เรามีอิสระในการเลือก$C$ถ้าเราสามารถแสดงได้ $f(\varphi) - s\varphi$ มีขอบเขตจากด้านบนหรือด้านล่างจากนั้นตัวเลือกดังกล่าว $C$จะมีอยู่ ฉันสงสัยว่าเราสามารถใช้ความนูนและคำจำกัดความของ$s$ เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ แต่ความพยายามของฉันก็ไร้ผล
2. หากอินทิกรัลเข้าท่าปัญหาอีกอย่างคือถ้า $g$กลับไม่ได้ อย่างไรก็ตามสิ่งนี้ไม่ควรเป็นปัญหาเช่นเดียวกับ FTOC:$$ g'(x) = \frac{1}{f(x) - sx + C} $$ ดังนั้นถ้าตัวส่วนไม่หายไป $g'$ เป็นไปอย่างต่อเนื่องและต้องเป็นบวกหรือลบอย่างเคร่งครัดด้วยเหตุนี้ $g$ เป็นเสียงเดียวอย่างเคร่งครัดจึงกลับไม่ได้
3. ปัญหาใหญ่ที่สุดคือคำจำกัดความนี้ไม่ได้รับประกันความต้องการของ $\lim_{x \to \pm\infty} \varphi(x) = u_\pm$. ฉันพยายามจัดการอินทิกรัลให้เข้ากับเงื่อนไขนี้ แต่ก็ไม่มีประโยชน์

ฉันยังลองใช้วิธีอื่น ๆ เช่นการใช้การวนซ้ำของ Picard แต่เนื่องจากปัญหานี้ไม่ใช่ IVP จริง ๆ จึงไม่ประสบความสำเร็จ

ขอความช่วยเหลือใด ๆ

Answer 1

ใช้ขีด จำกัด ที่ $\pm\infty$เราพบ $$ C = su_+ - f(u_+) = su_- - f(u_-) \, , $$ $$ \text{and}\qquad \varphi' = f(\varphi) - f(u_+) - s(\varphi - u_+) = f(\varphi) - f(u_-) - s(\varphi - u_-) \, , $$ดูแบบฝึกหัดนี้ใน Evans PDE ความนูนที่เข้มงวดของ$\varphi\mapsto \varphi'$ ตามมาจากความนูนที่เข้มงวด $f''>0$ ของ $f$. คุณสมบัตินี้ให้ผล$\varphi' < 0$ สำหรับ $\varphi \in \left]u_+, u_-\right[$. ดังนั้น,$\varphi$ เป็นฟังก์ชันลดอย่างราบรื่นซึ่งลดลงจาก $u_-$ ถึง $u_+$. เพื่อตรวจสอบเสถียรภาพของดุลยภาพ$\varphi = u_\pm$เราคำนวณเครื่องหมายของอนุพันธ์ $d\varphi'/d\varphi = f'(\varphi) - s$ ที่สมดุลซึ่งเป็นลบที่ $\varphi = u_+$ และบวกที่ $\varphi = u_-$เนื่องจากความนูนที่เข้มงวด ดังนั้น,$u_+$ เป็นดุลยภาพที่น่าดึงดูดใจและ $u_-$เป็นดุลยภาพที่น่ารังเกียจ ตั้งแต่ rhs. ของสมการเชิงอนุพันธ์ข้างต้นไม่เป็นเอกพจน์และไม่มีรากเพิ่มเติมการแก้ปัญหาใด ๆ ที่มีขอบเขตจำเป็นต้องเชื่อมต่อทั้งสองค่า$u_\pm$ ผ่านฟังก์ชันลดลงอย่างราบรื่น $\varphi$. Integrand ใน$$ x+D = \int_{u_+}^{u_-} \frac{\text d \varphi}{f(\varphi) - f(u_+) - s(\varphi - su_+)} $$ เป็นเอกพจน์ที่ขอบเขต $\varphi = u_\pm$. การบรรจบกันของอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมนี้เกิดขึ้นจากพฤติกรรมที่ไม่แสดงอาการที่ขอบเขต