พิสูจน์ / โต้แย้ง: $A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq \lfloor A/B \rfloor \times (B+1)$ สำหรับ $A \geq B$

Question

สำหรับ $A \geq B$ทั้งสองเป็นจำนวนเต็มบวกอย่างเคร่งครัดต่อไปนี้เป็นจริงหรือไม่? $$A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq \lfloor A/B \rfloor \times (B+1)$$

ฉันลองใช้เทคนิคที่ใช้ในการพิสูจน์คำถามที่คล้ายกันมาก: Prove / Disprove:$A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq (\lfloor A/B \rfloor + 1) \times B$ สำหรับ $A \geq B$

แต่ดูเหมือนว่าจะไม่ได้ผลในการพิสูจน์เรื่องนี้ ฉันยังลองสร้าง A และ B แบบสุ่มในเชิงประจักษ์ แต่ก็ไม่พบตัวอย่างการตอบโต้

Answer 1

$\newcommand{f}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}$ ปล่อย $B = 100$ และ $A = 199$. จากนั้น:\begin{align*} LHS &= 199 - 1 - 2 = 196 \\ RHS &= 1(100 + 1) = 101 \end{align*} อสมการจึงเป็นเท็จ

---

แก้ไข : เพื่อตอบสนองต่อความคิดเห็นของ OP สมมติว่าเรา จำกัด สิ่งนั้นเพิ่มเติม$\f{A/B} \geq N$ สำหรับบางคน $N \in \Bbb{Z}^+$. ปล่อย$B = 3N + 3$และปล่อยให้ $A = (N + 1)(3N + 3) - 1$. อย่างชัดเจน$A \geq B$ และ $\f{A/B} = N$. \begin{align*} LHS &= (N + 1)(3N + 3) - 1 - N - (N + 1) \\ &= (N + 1)(3N + 1) \\ \end{align*} \begin{align*} RHS &= N(3N + 4) \\ &= N(3N + 1) + 3N \\ &= (N + 1)(3N + 1) - (3N + 1) + 3N \\ &= (N + 1)(3N + 1) - 1 < LHS \end{align*} ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันจะยังคงล้มเหลว