พิสูจน์ว่า $2^{n}+1$ ไม่ใช่ลูกบาศก์ของจำนวนเต็มสำหรับทุกคน $n\in\mathbb{N}$ [ซ้ำ]

Question

พิสูจน์ว่า $2^n+1$ ไม่ใช่ลูกบาศก์ใด ๆ $n\in\mathbb{N}$.

ฉันสามารถพิสูจน์คำพูดนี้ได้ แต่ฉันต้องการทราบว่ามีแนวทางอื่นที่แตกต่างจากของฉันหรือไม่

ถ้ามีอยู่ $k\in\mathbb{N}$ ดังนั้น $2^n+1=k^3$ แล้ว $k=2l+1$ สำหรับบางคน $l\in\mathbb{N}$. แล้ว$(2l+1)^3=2^n+1 \iff 4l^3+6l^2+3l=2^{n-1}$. ขณะที่ฉันกำลังมองหาวิธีแก้ปัญหาจำนวนเต็มจากทฤษฎีบท Rational Root$l$ จะต้องมีรูปแบบ $2^j$ สำหรับ $j=1,...,n-1$. แต่แล้ว

$$4(2^j)^3+6(2^j)^2+3\times2^j=2^{n-1} \iff 2^{2j+2}+3(2^{j+1}+1)=2^{n-1-j}$$

LHS นั้นแปลกซึ่งบอกเป็นนัยว่า $j=n-1$. ไร้สาระ

ขอบคุณล่วงหน้า.

Answer 1

นี่คือแนวทางที่แตกต่างกัน

โมดูโล่ $7$มีคิวบ์ไม่มากนักดังนั้นจึงเป็นการตั้งค่าที่ดีในการตรวจสอบปัญหาดังกล่าว:

$2^n+1\equiv 2, 3, $ หรือ $5\pmod7$แต่ $m^3\equiv0, 1, $ หรือ $6\pmod 7$.

Answer 2

นี่คือโซลูชันที่ใช้พาริตีซึ่งหลีกเลี่ยงการทดสอบรูทที่มีเหตุผล

ถ้า $2^n+1=m^3$แล้ว $2^n=m^3-1=(m-1)(m^2+m+1)$ดังนั้น $m-1=2^k$ สำหรับบางคน $k\le n$และ

$$2^n+1=\left(2^k+1\right)^3=2^{3k}+3\cdot2^{2k}+3\cdot2^k+1\,.$$

แล้ว $2^n=2^k\left(2^{2k}+3\cdot2^k+3\right)$ดังนั้น $2^{n-k}=2^{2k}+3\cdot2^k+3$ เป็นเลขคี่และมากกว่า $1$ซึ่งเป็นไปไม่ได้

เพิ่ม: ดังที่เห็นได้จากความคิดเห็นด้านล่างมีหลายวิธีในการดำเนินการต่ออาร์กิวเมนต์นี้หลังจากบรรทัดแรก ฉันใช้สิ่งที่ฉันคิดว่าเป็นแนวทางตามจมูกของคุณกล่าวคือวิธีที่ชัดเจนที่สุดตรงไปตรงมาไม่จำเป็นต้องเป็นวิธีที่เรียบที่สุด (และเมื่อพูดถึงความเรียบร้อยฉันค่อนข้างชอบrtybase ) จากนั้นอีกครั้งจมูกของคนทั่วไปไม่ได้ชี้ไปในทิศทางเดียวกันเสมอไป :-)

Answer 3

การเรียกใช้การโต้แย้งมีพลังมากกว่าที่จำเป็นสำหรับสิ่งนี้:

ไม่มีทางแก้ไขใด ๆ $2^n+1=m^3$ (กล่าวคือ $m^3-2^n=1$) โดยทฤษฎีบท Mihailescu ของ ,

ซึ่งระบุว่า $2^3$ และ $3^2$ เป็นเพียงสองพลังของจำนวนธรรมชาติ

ซึ่งมีค่าติดต่อกัน

Answer 4

สมมติ $2^n + 1 = k^3$. แล้ว$2^n = k^3 - 1 = (k^2 + k + 1)(k - 1)$. ดังนั้นทั้งสองปัจจัยจึงเท่ากัน ($k = 2$ไม่ทำงาน; ปัจจัยแรกเป็นอย่างน้อย$3^2 + 3 + 1 = 13$ไม่สามารถเป็น 1) แต่ปัจจัยแรกคือความขัดแย้งที่แปลกประหลาดเสมอ

Answer 5

ปล่อย $$2^n=m^3-1\\\implies 2^n=(m-1)(m^2+m+1)\\\implies(m-1)=2^a\text{ and }(m^2+m+1)=2^b\\\implies3m=(m^2+m+1)-(m-1)^2=2^b-2^{2a}$$ ตอนนี้ตั้งแต่ $m$ เป็นเรื่องแปลกเราต้องมี $a=0$ หรือ $b=0$. แต่$(m-1)<(m^2+m+1)$ หมายถึง $a=0$. โดยนัยนี้$m=2$ ความขัดแย้งตั้งแต่ $m$ ต้องเป็นเลขคี่

Answer 6

มาตั้งค่าก้อนเป็น $8m^3$ และ $8m^3+12m^2+6m+1$. เช่น$8m^3$ มีค่าสม่ำเสมอและไม่ได้ผล $n=0$เป็นไปไม่ได้ สำหรับอันที่สองการละเว้น$1$ คุณสามารถแยกตัวประกอบได้ $2m(4m^2+6m+3)$. เนื่องจากไม่มีธรรมชาติใด ๆ$4m^2+6m+3=1$ เป็นไปไม่ได้ที่จะเป็น $2^n$ เพื่อความเป็นธรรมชาติ $n$.