พิสูจน์ว่า $\mathbb{R}[x,y]/(x^2,y^2)$ ไม่ใช่ไอโซมอร์ฟิกเป็นวงแหวน $\mathbb{R}[x,y]/(xy,x^2-y^2)$.

Question

ฉันจะพิสูจน์ได้อย่างไร $\mathbb{R}[x,y]/(x^2,y^2)$ และ $\mathbb{R}[x,y]/(xy,x^2-y^2)$ไม่ใช่ไอโซมอร์ฟิกเหมือนวงแหวน? มันง่ายที่จะแสดงว่าพวกมันไม่ใช่ไอโซมอร์ฟิก$\mathbb{R}$- อัลจีบรา; แต่ homomorphism แหวนโดยพลการสามารถส่งองค์ประกอบของ$\mathbb{R}^*$ไปยังองค์ประกอบอื่น ๆ ที่กลับหัวไม่ได้ คุณสมบัติตามปกติไม่แยกความแตกต่างของวงแหวนทั้งสอง (การลดขนาดความเป็นปกติ ฯลฯ )

Answer 1

$R_1=\Bbb R[x,y]/(x^2,y^2)$ เป็นสี่มิติด้วย $\Bbb R$- ฐาน $1$, $x$, $y$, $xy$.

$R_2=\Bbb R[x,y]/(xy,x^2-y^2)$ เป็นสี่มิติด้วย $\Bbb R$- ฐาน $1$, $x$, $y$, $x^2$.

ทั้งสองเป็นวงแหวนเฉพาะที่: อุดมคติสูงสุดของ $R_1$ คือ $M_1=(x,y)$ และอุดมคติสูงสุดของ $R_2$ คือ $M_2=(x,y)$. homomorphism$\phi:R_1\to R_2$ ต้องใช้ $M_1$ ถึง $M_2$. ดังนั้น$\phi(x)=ax+by+cx^2$ ที่ไหน $a$, $b$, $c\in\Bbb R$. เช่น$x^2=0$ ใน $R_1$ แล้ว $(ax+by+cx^2)^2=0$ ใน $R_2$. แต่$$(ax+by+cx^2)^2=a^2x^2+2abxy+b^2y^2=(a^2+b^2)x^2$$ ใน $R_2$ และอื่น ๆ $a^2+b^2=0$, นั่นคือ $a=b=0$และอื่น ๆ $\phi(x)=cx^2$. ในทำนองเดียวกัน$\phi(y)=dy^2$ ที่ไหน $d\in \Bbb R$. บางส่วนที่ไม่สำคัญ$\Bbb R$- การรวมกันเชิงเส้นของ $x$ และ $y$ จะต้องถูกส่งไปที่ศูนย์โดย $\phi$. ดังนั้น$\phi$ ไม่สามารถเป็น isomorphism