พิสูจน์ว่ามีพหุนามที่หายไปในทุกจุดของ $X$ เส้นโค้งพีชคณิต
ปล่อย $X \subset \mathbb{A}^3$ เป็นเส้นโค้งพีชคณิตและสมมติว่า $X$ ไม่มีเส้นคู่ขนานกับ $z$- แกน พิสูจน์ว่ามีพหุนามที่ไม่ใช่ศูนย์$f(x,y)$ หายไปทุกจุดของ $X$.
ฉันคิดว่าคำถามนี้ต้องการการโต้แย้งเชิงมิติและเพื่อให้แม่นยำยิ่งขึ้นฉันคิดว่าจะใช้ผลลัพธ์ต่อไปนี้:
ถ้า $X$ เป็นสิ่งที่วัดไม่ได้ $n$- มิติ quasiprojective หลากหลายและ $Y \subset X$ ชุดศูนย์ของ $m$ แบบฟอร์มบน $X$จากนั้นทุกองค์ประกอบที่ไม่ว่างของ $Y$ มีมิติ $\geq n -m$.
ดังนั้นในกรณีของฉัน $X$ มีมิติ $n= 1$ เพราะมันเป็นเส้นโค้งพีชคณิต $m = 1$ และ $Y$ คือเซตของศูนย์ของ $f$. ด้วยวิธีนี้ฉันเข้าใจทุกองค์ประกอบของ$Y$ มีมิติ $\geq 0$. ดูเหมือนว่า$f$ หายไปในบางจุดของ $X$และทางแยกไม่เคยว่างเปล่า เพื่อพิสูจน์การออกกำลังกายฉันควรพิสูจน์อย่างนั้น$\dim Y = 1$. ฉันไม่รู้ว่าจะย้ายจากที่นี่อย่างไรและไม่แน่ใจเกี่ยวกับความถูกต้องของเหตุผลของฉันจนถึงจุดนี้
คำตอบ
โดยสัญชาตญาณวิธีที่เราพบพหุนามดังกล่าวคือการพิจารณาการฉายภาพของเส้นโค้ง $X$ ไปที่ $xy$- เครื่องบินแล้วหาพหุนามที่หายไปในภาพของการฉายภาพนี้ นี่จะเป็นพหุนามใน$x$ และ $y$ ซึ่งมีค่าคงที่ตามเส้นใยแนวตั้งทั้งหมดของการฉายภาพนี้และมันจะหายไป $X$.
ในการสร้างพหุนามดังกล่าวให้พิจารณา $I(X)$ และรับ $f_1,\cdots,f_n$ เป็นชุดสร้างที่ไม่มี $f_i \in (f_1,\cdots,f_{i-1})$. โดยมีเงื่อนไขว่า$X$ เป็นเส้นโค้ง $\Bbb A^3$, $n$ เป็นอย่างน้อย $2$(เป็นที่เดียวที่มิติมีความสำคัญ) ถ้าอย่างใดอย่างหนึ่ง$f_1$ หรือ $f_2$ เป็นเพียงพหุนามใน $x$ และ $y$เราทำเสร็จแล้ว เราสามารถใช้ผลลัพธ์ของ$f_1$ และ $f_2$ ด้วยความเคารพ $z$ เพื่อสร้างพหุนามเพียง $x$ และ $y$ ซึ่งหายไปทุกหนทุกแห่ง $f_1$ และ $f_2$ ทำ: โดยเฉพาะพหุนามเช่นนี้จะต้องหายไป $X$.