พิสูจน์ว่าโทโพโลยีผลิตภัณฑ์ใน $\Bbb C^n$ เท่ากับค่าปกติ

Question

ดังนั้นจึงเป็นที่ทราบกันดีว่าฟังก์ชัน $\tau_n:\Bbb C^n\times\Bbb C^n\rightarrow\Bbb C$ กำหนดโดยเงื่อนไข

1. $\tau_n(x,y):=\sum_{i=1}^n x_i\overline y_i$

สำหรับใด ๆ $x,y\in\Bbb C^n$เป็นผลิตภัณฑ์ภายใน ดังนั้นฉันจึงขอให้พิสูจน์ว่าโทโพโลยีผลิตภัณฑ์เปิดอยู่$\Bbb C^n$ เกิดจากผลิตภัณฑ์ด้านใน $\tau_1$ เท่ากับโทโพโลยี $\tau _n$ตามที่กำหนดไว้ข้างต้น ฉันชี้ให้เห็นว่าฉันต้องการผลลัพธ์นี้เพื่อแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันเชิงเส้นระหว่างพื้นที่เวกเตอร์โทโพโลยีสองช่องนั้นต่อเนื่องกันและเพื่อแสดงให้เห็นว่าโทโพโลยีทั้งหมดในพื้นที่เวกเตอร์โทโพโลยีมิติ จำกัด มีค่าเท่ากันดังนั้นฉันจึงขออย่างสุภาพที่จะไม่ให้สิ่งที่เพิ่งกล่าวว่า ตอบ. มีใครช่วยฉันได้ไหม

Answer 1

โทโพโลยีผลิตภัณฑ์ถูกสร้างขึ้นโดยบรรทัดฐาน

$$N_\infty(x)=\max(\vert x_1\vert, \dots \vert x_n\vert)$$ ที่ไหน $\vert x \vert = \sqrt{\tau_1(x,x)}$. แสดงถึง

$$N_2(x) = \sqrt{\tau_n(x,x)}$$ เรามี

$$1/\sqrt{n}N_\infty(x) \le N_2(x) \le \sqrt{n} N_\infty(x)$$ ซึ่งช่วยให้สามารถสรุปได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ