ประเมิน $\lim_{x\to-2}(3x^4+2x^2-x+1)$
$$\lim_{x\to-2}(3x^4+2x^2-x+1)$$
ฉันต้องประเมินขีด จำกัด นี้โดยไม่ใช้ 'แนวคิดต่อเนื่อง' ดังนั้นฉันถือว่าฉันไม่สามารถทดแทนได้$-2$ในฟังก์ชันและค้นหาขีด จำกัด ฉันสามารถ? แล้วฉันจะหาขีด จำกัด นี้ได้อย่างไร?
คำตอบ
เราเดาได้เลยว่า $\lim_{x \to -2} (3x^{4}+2x^{2}-x+1)=59$ และเพื่อพิสูจน์สิ่งนี้เราสามารถใช้นิยามเพื่อแสดงให้เห็นว่า $\forall \varepsilon>0 \: \exists \delta>0 \:\forall x\: |x-(-2)|=|x+2|<\delta$ เรามี
$$|3x^4+2x^2-x+1-59|=|x+2||3x^3-6x^2+14x-29|\le \varepsilon$$
จากนั้นถือว่า wlog $|x+2|<1$ นั่นคือ $-3<x<-1$ แล้ว
$$|x+2||3x^3-6x^2+14x-29|\le \delta|3x^3-6x^2+14x-29| \le 206 \,\delta$$
ตั้งแต่ $f(x)=x^3-6x^2+14x-29$ เป็นลบเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดสำหรับ $x\in[-3,-1]$ และ $|f(-3)|=206$ก็เพียงพอที่จะถือว่า
$$\delta \le \frac{\varepsilon}{206}$$
อ้างถึงสิ่งที่เกี่ยวข้อง
- การค้นหา "ที่เหมาะสม" $\delta$ ได้รับขีด จำกัด
- คำถามเกี่ยวกับ (ε, δ) - นิยามของขีด จำกัด
ตั้งแต่นั้น $$lim_{x \to -2} 3x^{2}=3(-2)^{4},$$ $$\lim_{x\to -2}2x^{2}=2(-2)^{2},$$ $$\lim_{x\to -2}-x=-(-2)$$และ $$\lim_{x \to -2}1=1$$ดังนั้นคุณสามารถสรุปได้ว่า $$\lim_{x \to -2} (3x^{4}+2x^{2}-x+1)$$มีอยู่และยัง $$\lim_{x \to -2} (3x^{4}+2x^{2}-x+1)=3(-2)^{4}+2(-2)^{2}-(-2)+1=59.$$
โปรดทราบว่าคุณต้องการคุณสมบัติของขีด จำกัด เท่านั้น