Pseudoinverse ของเมทริกซ์แนวทแยง
ให้เมทริกซ์ $A \in \Bbb R^{n \times n}$ มี $k$ องค์ประกอบเส้นทแยงมุมโดยที่ $k < n$และองค์ประกอบที่เหลือเป็นศูนย์ ฉันพยายามค้นหาหลอกของ$A + \lambda I$ เมื่อไหร่ $\lambda$ เข้าใกล้ศูนย์
แล้ว $\frac{1}{a_i + \lambda}$ จะเป็นองค์ประกอบเส้นทแยงมุมสำหรับ $i$ ไปจาก 1 ถึง $k$ ของหลอกผกผันและ $\frac{1}{\lambda}$จะเป็นส่วนที่เหลือขององค์ประกอบเส้นทแยงมุม ถ้าฉันใส่$\lambda$ เท่ากับศูนย์ดังนั้นผกผันหลอกจะเป็นเมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบของ $A$เมทริกซ์กลับหัว แต่จะมีองค์ประกอบที่จะไม่มีที่สิ้นสุด แต่นั่นไม่ถูกต้อง ตรรกะนี้ผิดอะไร
คำตอบ
ปัญหาคือการผกผันหลอกไม่ใช่ฟังก์ชันต่อเนื่องบนพื้นที่ของเมทริกซ์ตามที่คุณได้แสดงไว้ พิจารณาเมทริกซ์ 1d$(x)$ สำหรับ $x\in\mathbb R$. จากนั้นแผนที่ผกผันหลอกคือ$$ (x)\mapsto\begin{cases}1/x&\text{ if }x\neq 0,\\0&\text{ otherwise.} \end{cases} $$นี่ไม่ใช่การต่อเนื่องที่ศูนย์ดังนั้นเราจึงไม่คาดหวังว่ามันจะรักษาขีด จำกัด ขององค์ประกอบให้เป็นศูนย์ สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นกับตัวอย่างของคุณเมื่อเรา จำกัด ไว้ที่เคอร์เนลของ$A$.