Random Walk Probability - การแข่งขันเทนนิส

Question

คุณและคู่ต่อสู้กำลังเล่นเทนนิส - ก่อนอื่นให้ได้ $2$ชนะในแถวชนะ ความน่าจะเป็นที่คุณจะชนะคือ$0.6$. ความน่าจะเป็นที่เขาจะชนะคือ$0.4$. ความน่าจะเป็นที่คุณจะชนะเกมนี้คือเท่าไร?

ฉันคิดว่านี่สามารถจำลองเป็นห่วงโซ่ Markov ที่มี 5 สถานะ (2 แพ้ 1 แพ้ 0 สุทธิ 1 ชนะ 2 ชนะ) ดังนั้นฉันคิดว่าฉันสามารถเขียนสมการบางอย่างเพื่อแก้ปัญหานี้ได้ ใครช่วยบอกฉันทีว่ามันสมเหตุสมผล / ถ้ามันผิด?

P (คุณชนะทันทีจากค้างคาว) $= (0.6)(0.6) = 0.36$

P (เขาชนะทันทีจากค้างคาว)$ = (0.4)(0.4) = 0.16$

P (คุณชนะ)$ = \frac{0.36}{0.36+0.16}$

Answer 1

ตอบ:

กรณีที่ 1: คุณชนะสองเกมติดต่อกัน$ = 0.36$

กรณีที่ 2: คุณชนะเกมและคู่ต่อสู้ของคุณแพ้ในเกม$ = 0.24$

กรณีที่ 3: คุณเล่นเกมและฝ่ายตรงข้ามชนะเกม$ = 0.24$

กรณีที่ 4: คุณแพ้สองเกมติดต่อกันและฝ่ายตรงข้ามชนะ $ = 0.16$

ทั้งในกรณีที่ 2 และ 3 เกมสามารถมองได้ว่าเสมอกันและกลับไปที่กำลังสอง ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ไม่มีผู้ชนะคือผลรวมของกรณีที่ 2 และ 3$= 0.48$

ความน่าจะเป็นที่คุณจะชนะ $= 0.36 + 0.48*(.36)+0.48^2*(.36) + \cdots \infty$

$= 0.36\frac{1}{(1-0.48)} = \frac{9}{13}$

ความน่าจะเป็นที่คู่ต่อสู้ของคุณจะชนะ $=0.16 + 0.48*(.16)+0.48^2*(.16) + \cdots \infty$

$= 0.16\frac{1}{(1-.48)} = \frac{4}{13}$

นี่เป็นวิธีหนึ่งที่คุณสามารถทำให้เกมง่ายขึ้นและค้นหาวิธีแก้ปัญหาเว้นแต่คุณจะรู้วิธีแก้ปัญหาของ Markov Chain