ระยะเวลาของฟังก์ชันต่อเนื่องกันเมื่อใด
พิจารณาฟังก์ชัน $f\in\mathcal{C}_0(\mathbb{R})$, ที่ไหน $\mathcal{C}_0(\mathbb{R})$หมายถึงพื้นที่ของฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่องกระโดดหายไปไม่มีที่สิ้นสุด ฉันสนใจในไฟล์$T$-periodisationของฟังก์ชันดังกล่าวกำหนดเป็น:$$f_{T}(t)=\sum_{n\in\mathbb{Z}} f(t-nT),\quad \forall t\in \mathbb{R}.$$ตามที่อธิบายไว้ในฟิชเชอร์ - วันที่คู่ของฟังก์ชั่นต่อเนื่องและธาตุ ,$f_{T}$ คือ $T$- การกระจายอารมณ์เป็นระยะถ้า$f$เป็นฟังก์ชันที่สลายตัวอย่างรวดเร็ว - หายไปที่ระยะอนันต์เร็วกว่าพหุนามใด ๆ
คำถามของฉันเกี่ยวข้องกับความสม่ำเสมอของ $f_T$:
สำหรับฟังก์ชั่นใด $f\in\mathcal{C}_0(\mathbb{R})$ คือฟังก์ชันทั่วไปตามระยะเวลา $f_{T}$กำหนดไว้เหนือฟังก์ชันปกติต่อเนื่อง ?
กล่าวอีกนัยหนึ่งสิ่งที่ควรเป็นสมมติฐาน $f$ เพื่อให้ระยะเวลาเป็นไปอย่างต่อเนื่อง?
ผู้นำใด ๆ จะได้รับการชื่นชมอย่างมาก ขอบคุณล่วงหน้า!
คำตอบ
คุณแค่ต้องการสิ่งนั้น $f$ลดลงเร็วพอที่จะทำให้ซีรีส์บรรจบกันอย่างสม่ำเสมอบนชุดขนาดกะทัดรัด เช่นก็เพียงพอแล้ว$|x|^p |f(x)|$ มีขอบเขตสำหรับบางคน $p>1$. จากนั้นคุณสามารถประมาณเงื่อนไขของซีรีส์ได้อย่างสม่ำเสมอในช่วงเวลาที่กะทัดรัด$[-a,a]$ สำหรับ $nT>2a$ โดย $cn^{-p}$ ด้วยค่าคงที่ $c$.
คำตอบสั้น ๆ : เช่นสำหรับฟังก์ชั่นชวาร์ตซ์
คำตอบแบบยาว : การแปลงฟูริเยร์ของ "คาบ" คือ "ไม่ต่อเนื่อง" และการแปลงฟูริเยร์ของ "ไม่ต่อเนื่อง" คือ "คาบ" นี่คือการทำแผนที่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง มันจะมีการอธิบายในเรื่องนี้ฟิสเชอร์ - วันที่คู่ของฟังก์ชั่นต่อเนื่องและธาตุ
ในทำนองเดียวกันการแปลงฟูเรียร์ของ "ปกติ" คือ "เฉพาะที่" และการแปลงฟูริเยร์ของ "โลคัล" คือ "ปกติ" เป็นการทำแผนที่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง มันจะมีการอธิบายในฟิชเชอร์ - วันที่คู่ของฟังก์ชั่นปกติและท้องถิ่น
คำว่า "ปกติ" หมายถึงฟังก์ชันธรรมดาที่แตกต่างกันไม่สิ้นสุดซึ่งไม่เติบโตเร็วกว่าพหุนาม ฟังก์ชัน (ปกติ) เหล่านี้เรียกว่าตัวดำเนินการคูณสำหรับการแจกแจงแบบอารมณ์ ผลคูณการคูณของพวกเขาด้วยการกระจายอารมณ์ใด ๆ เป็นการกระจายอารมณ์อีกครั้ง
คำว่า "ท้องถิ่น" หมายถึงการแจกแจงแบบอารมณ์ซึ่งเป็น "เฉพาะที่" กล่าวคือจะสลายตัวเป็นศูนย์อย่างรวดเร็ว (เร็วกว่าพหุนาม) ฟังก์ชัน (ทั่วไป) เหล่านี้เรียกว่าตัวดำเนินการ Convolution สำหรับการแจกแจงแบบอารมณ์ ผลิตภัณฑ์ Convolution ของพวกเขาที่มีการกระจายอารมณ์ใด ๆ เป็นการกระจายอารมณ์อีกครั้ง
คุณสมบัติของ "ปกติ" และ "ท้องถิ่น" ตอบสนองความทฤษฎีบทบิดในการกระจายอารมณ์
ตอนนี้คุณสมบัติของ "periodic", "discrete", "regular" และ "local" สามารถรวมกันได้ ตัวอย่างเช่น "local + regular" คือฟังก์ชัน Schwartz และการแปลงฟูเรียร์ของฟังก์ชัน Schwartz คือฟังก์ชัน Schwartz ("local + regular") อีกครั้ง ยิ่งไปกว่านั้นการแปลงฟูริเยร์ของ "ช่วงเวลาไม่ต่อเนื่อง" นั้นเป็น "ช่วงเวลาไม่ต่อเนื่อง" อีกครั้ง มันถัวเฉลี่ยแบบไม่ต่อเนื่องแปลงฟูเรีย (DFT)
ตอนนี้เงื่อนไขเบื้องต้นสำหรับฟังก์ชันทั่วไปซึ่งสามารถกำหนดระยะเวลาได้คือพวกมันเป็น "เฉพาะที่" และเงื่อนไขเบื้องต้นสำหรับฟังก์ชันทั่วไปซึ่งสามารถแยกแยะออกได้ก็คือว่าเป็น "ปกติ"
ดังนั้นกลับไปที่คำถามเดิมเพื่อที่จะกำหนดระยะเวลาของฟังก์ชัน (แบบธรรมดาหรือแบบทั่วไป) จะต้องเป็น "เฉพาะที่" และเพื่อที่จะอนุญาตให้เป็นฟังก์ชันธรรมดาได้นั้นจะต้องเป็น "ปกติ" กล่าวอีกนัยหนึ่งฟังก์ชัน Schwartz ตอบสนองความต้องการทั้งสองนี้คือ "ปกติ + ในพื้นที่"
ทรัพย์สินของฟังก์ชั่นชวาร์ตซ์ของการเป็น "ปกติ" และ "ท้องถิ่น" พร้อมกันนี้จะอธิบายถึงบทบาทพิเศษของพวกเขาเป็นฟังก์ชั่นการทดสอบในทฤษฎีการกระจายและฟิสิกส์ควอนตัม
อย่างไรก็ตามมีความแตกต่างของ "เรียบ" ในความหมายของฟังก์ชันทั่วไปและทั่วไป อาจจำได้ว่าฟังก์ชันทั่วไปทุกอย่างราบรื่น (แตกต่างกันไม่สิ้นสุด) และด้วยเหตุนี้ "ต่อเนื่อง" เพื่อตอบคำถามนี้ในแง่ของฟังก์ชันธรรมดาที่ฝังอยู่ในทฤษฎีฟังก์ชันทั่วไปมีฟังก์ชันอื่น ๆ นอกเหนือจากฟังก์ชัน Schwartz ฟังก์ชั่นเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า , ตัวอย่างเช่นเป็นไปอย่างราบรื่นในความรู้สึกที่ฟังก์ชั่นทั่วไป แต่ไม่เรียบในความรู้สึกที่ฟังก์ชั่นสามัญ อย่างไรก็ตามการกำหนดระยะเวลาจะให้ฟังก์ชันที่เป็น 1 ตลอดเวลาสำหรับ T ที่เหมาะสมซึ่งเป็นฟังก์ชันที่ราบรื่นและธรรมดา (โดยเฉพาะอย่างต่อเนื่อง) เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชันที่ต่อเนื่องกันในช่วงเวลา [-T / 2, + T / 2] และ f (-T / 2) = f (+ T / 2) ก็ตอบสนองความต้องการได้เช่นกัน