เราจะพิสูจน์สิ่งนี้ได้อย่างไร: $\int_0^{2\pi} \exp(i a\cos(x))\, dx = 2 \pi I_0(a)$

Question

เราจะโต้แย้งได้อย่างไร $$ \int_0^{2\pi} \exp(i a\cos(x)) \,dx = 2 \pi I_0(a) $$ ที่ไหน $I_0(a)$ เป็นฟังก์ชัน Bessel ที่ปรับเปลี่ยนแล้ว

ฉันพยายามทำให้มันง่ายขึ้นดังนี้: \begin{align} \int_0^{2\pi} \exp(i a\cos(x))\, dx & = \int_0^\pi \exp(i a\cos(x))\, dx + \int_\pi^{2\pi} \exp(i a\cos(x))\, dx\\ & = \pi I_0(a) + \int_0^\pi \exp(i a\cos(\theta + \pi))\, d\theta\\ & = \pi I_0(a) + \int_0^\pi \exp(-i a\cos(\theta)) \, d\theta \end{align}

ฉันจะแสดงได้อย่างไร $$ \int_0^\pi \exp(-i a\cos(\theta)) \, d\theta = \pi I_0(a) \text{ ?} $$

Answer 1

บังคับใช้การเปลี่ยนตัว $x\mapsto 2\pi-x$เราเห็นว่า

$$\int_\pi^{2\pi}e^{ia\cos(x)}\,dx=\int_0^\pi e^{ia\cos(x)}\,dx$$

ดังนั้นเรายืนยันว่า

$$\begin{align} \int_0^{2\pi} e^{ia\cos(x)}\,dx&=2\int_0^\pi e^{ia\cos(x)}\,dx\\\\ &=2\pi I_0(a) \end{align}$$

ตามที่จะแสดง!