แสดงว่า ${{n}\choose{x}}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$

Aug 20 2020

คำถาม:สมมติว่า$x $เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ กำหนด${{m}\choose {x}}=0$ ถ้า $x>m $. ปล่อย$\{p_n\}$ เป็นลำดับที่น่าพอใจ $0 <p_n <1$ และ $\lim\limits_{n\to\infty} np_n=\lambda$. แสดงว่า$${{n}\choose {x}}p _n^x (1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$$

สิ่งนี้เทียบเท่ากับการพิสูจน์สูตรการแจกแจงแบบปัวซองหรือไม่ ฉันถามสิ่งนี้เพราะในสถิติกล่าวถึงสูตรการแจกแจงแบบปัวซอง$np$ คงที่ แต่ที่นี่เมื่อ $n\to\infty $ $np\to $ค่าคงที่$=\lambda $. นอกจากนี้ในสูตรการแจกแจงแบบปัวซอง$\lim\limits_{n\to\infty} {{n}\choose{x}}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$ แต่เราต้องพิสูจน์ให้ได้ $n $ไม่มีข้อ จำกัด ดังนั้นการพิสูจน์ปัญหาและการพิสูจน์สูตรการแจกแจงแบบปัวซองเหมือนกันหรือไม่?

หมายเหตุ:ไม่มีข้อ จำกัด ในสูตรในปัญหา เราต้องพิสูจน์$${{n}\choose {x}}p _n^x (1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$$ ไม่ $$\lim\limits_{n\to\infty} {{n}\choose{x}}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$$

คำตอบ

1 ShubhrajitBhattacharya Aug 20 2020 at 14:09

$\boxed{\text{Hint}}$

$$\binom{n}{x}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=\frac{n!}{x!(n-x)!}\frac{(np_n)^x}{n^x}\frac{(1-np_n/n)^n}{(1-p_n)^x}$$

ตั้งแต่ $\lim_{n\rightarrow\infty}np_n=\lambda$, เราได้รับ $$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}(1-np_n/n)^n=\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\lambda/n)^n=e^{-\lambda}}$$

$$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}(np_n)^x=\lambda^x}$$ และพยายามแสดงสิ่งนั้น $$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{(n-x)!n^x}=1\\\lim_{n\rightarrow\infty}(1-p_n)^x=1}$$

1 angryavian Aug 20 2020 at 14:08

ขีด จำกัด ที่คุณเขียนเป็นคำสั่งอย่างเป็นทางการของทฤษฎีบทวงเงิน Poisson

เวอร์ชันที่คุณเห็นก่อนหน้านี้มีข้อสันนิษฐานทั่วไปน้อยกว่าเล็กน้อย (บังคับ $np_n = \lambda$ เพื่อทุกสิ่ง $n$, ค่อนข้างมากกว่า $np_n \to \lambda$). การพิสูจน์จะคล้ายกันมาก แต่คุณอาจต้องทำบางอย่างเพิ่มเติมสำหรับการอ้างสิทธิ์ทั่วไป

ในทั้งสองงบมีขีด จำกัด เป็น $n \to \infty$; ฉันไม่แน่ใจว่าคุณหมายถึงอะไร "เราต้องพิสูจน์ให้ได้$n$ ไม่มีขีด จำกัด "

1 J.G. Aug 20 2020 at 14:10

สำหรับคงที่ $x$,$$\frac{\binom{n}{x}}{n^x/x!}=\prod_{i=0}^{x-1}(1-i/n)=\exp\sum_{i=0}^{x-1}\underbrace{\ln(1-i/n)}_{\sim-i/n}\approx\exp\frac{-x(x-1)}{2n}\stackrel{n\to\infty}{\to}1.$$เช่น $n\to\infty$, $1-p_n\to1$ ดังนั้น$$\binom{n}{x}p_n^x(1-p_n)^{n-x}\sim\frac{\left(\frac{np_n}{1-p_n}\right)^x(1-p_n)^n}{x!}\sim\frac{\lambda^x e^{-np_n}}{x!}\stackrel{n\to\infty}{\to}\frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}.$$