สามารถจัดองค์ประกอบของพหุนามจำนวนเต็มและพหุนามเชิงเหตุผลด้วยสัมประสิทธิ์ที่ไม่ใช่จำนวนเต็มทำให้เกิดพหุนามจำนวนเต็มได้หรือไม่
เราหาพหุนามสองตัวได้ไหม $p(x)$ และ $q(x)$, ที่ไหน $p(x)$ เป็นพหุนามโมโนนิกที่ไม่คงที่ส่วนจำนวนเต็มและ $q(x)$ เป็นพหุนาม monic เหนือเหตุผลโดยมีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ใช่จำนวนเต็มอย่างน้อยหนึ่งค่าซึ่งองค์ประกอบของมัน $p(q(x))$พหุนามมากกว่าจำนวนเต็ม? ถ้าไม่จะพิสูจน์ได้อย่างไร?
ตัวอย่างเช่นให้ $q(x)=x^2+\frac{1}{2}x+1$ และ $p(x)=x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$แล้ว $p(q(x))=x^6+\frac{3}{2}x^5+\dots$ดังนั้นไม่ว่าจำนวนเต็ม $a_i$เราเลือกพหุนามที่เป็นผลลัพธ์จะมีสัมประสิทธิ์ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม เงื่อนไข monic มีความสำคัญเนื่องจากไม่เช่นนั้นเราสามารถคูณได้$p(x)$ด้วยจำนวนเต็มดังกล่าวจะรับประกันว่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นจำนวนเต็ม ฉันพยายามดูค่าสัมประสิทธิ์ในองค์ประกอบของพหุนามทั่วไปซึ่งฉันเชื่อว่าควรเป็นไปตามสูตรนี้:
\ เริ่ม {align} [x ^ r] p (q (x)) = \ sum_ {k_1 + 2k_2 + \ dots + mk_m = r} \ sum_ {k_0 = 0} ^ {n- (k_1 + \ dots + k_m)} \ binom {k_0 + k_1 + \ dots + k_m} {k_0, k_1, \ dots, k_m} a_ {k_0 + k_1 + \ dots + k_m} \ left (\ prod_ {j = 0} ^ {m} b_j ^ {k_j} \ right) \ end {align} (ที่นี่$a_i$ และ $b_i$ คือค่าสัมประสิทธิ์ของ $p(x)$ และ $q(x)$ ด้วยองศา $n$ และ $m$ตามลำดับ) อย่างไรก็ตามยังไม่ชัดเจนว่าค่าสัมประสิทธิ์ใดที่จะมุ่งเน้นเพื่อพิสูจน์ว่าจะให้จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม
สิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อพยายามแก้ปัญหา https://math.stackexchange.com/questions/3785073/infinitely-many-solutions-leads-to-existence-of-a-polynomialแต่มันก็ดูน่าสนใจพอตัว
คำตอบ
ในความเป็นจริงเราอาจเพิกเฉยต่อสมมติฐานที่ว่า $q$เป็น monic องค์ประกอบ$p \circ q$ ไม่สามารถมีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มทั้งหมด
สำหรับให้ $p$ เป็นตัวประกอบเฉพาะของตัวส่วนที่เรียบง่ายทั้งหมดของสัมประสิทธิ์ของ $q$. พิจารณาที่ใหญ่ที่สุด$k$ เซนต์ $p^k$ เป็นตัวประกอบของตัวส่วนของ a $q$สัมประสิทธิ์ จากนั้นเขียนพหุนาม$q$ เช่น $x^j w(x) / p^k + s(x)$โดยที่ทุกตัวย่อของ $w(x)$ หารด้วยไม่ได้ $p$ และไม่มีตัวส่วนที่ง่ายที่สุดของ $s(x)$ หารด้วย $p^k$, และที่ไหน $w$มีระยะคงที่ที่ไม่ใช่ศูนย์ ทำได้โดยการจัดกลุ่มคำศัพท์ทั้งหมดด้วยตัวหารหารด้วย$p^k$, การได้รับ $x^j w(x) / p^k$และคำศัพท์ทั้งหมดที่มีตัวส่วนหารด้วยไม่ได้ $p^k$, การได้รับ $x(x)$.
ปล่อย $n$ เป็นระดับของ $p$และพิจารณาค่าสัมประสิทธิ์ของ $x^{jn}$ ใน $p \circ q$. หนึ่งใน summands ที่มีส่วนร่วมจะเป็น$w(0)^n / p^{kn}$ซึ่งทำให้ง่ายขึ้นอย่างสมบูรณ์ และไม่มี summands อื่นใดที่สามารถมีตัวส่วนหารด้วยได้$p^{kn}$. ดังนั้นสัมประสิทธิ์นี้จึงไม่ใช่จำนวนเต็ม