สภาพพลังงานบวกในทฤษฎีสนามควอนตัมสำหรับชาวแฮมิลตันที่เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์การฆ่าตามเวลาที่แตกต่างกัน
ผล Unruh เป็นตัวอย่างที่รู้จักกันดีซึ่งชาวแฮมิลตันสองคน $H$ และ $\hat H$ที่เกี่ยวข้องกับฟิลด์เวกเตอร์การฆ่าแบบไทม์ไลค์ที่แตกต่างกันทั้งสองมีขอบเขตล่างในการแทนพื้นที่ฮิลเบิร์ตเดียวกันแม้ว่าจะไม่เกี่ยวข้องกันด้วยไอโซเมตริกของกาลอวกาศใด ๆ ก็ตาม คำถามนี้ถามเกี่ยวกับลักษณะทั่วไป
พิจารณาทฤษฎีสนามควอนตัมในกาลอวกาศแบนซึ่งแสดงในแง่ของตัวดำเนินการภาคสนามที่ทำหน้าที่บนอวกาศฮิลเบิร์ต ปล่อย$K$ และ $\hat K$เป็นฟิลด์เวกเตอร์การฆ่าแบบไทม์ไลค์สองฟิลด์ที่แตกต่างกันไม่จำเป็นต้องเกี่ยวข้องกันด้วยไอโซเมตริกใด ๆ และไม่จำเป็นต้องครอบคลุมทั้งกาลอวกาศ (ตามตัวอย่างให้นึกถึงพิกัด Rindler)$R$ เป็นขอบเขตของกาลอวกาศที่กำหนดฟิลด์เวกเตอร์ฆ่าทั้งสองและพิจารณาพีชคณิตของสิ่งที่สังเกตได้ใน $R$. ปล่อย$H$ และ $\hat H$ เป็นตัวดำเนินการ (Hamiltonians) ที่สร้างคำแปลของสิ่งที่สังเกตได้เหล่านี้ $K$ และ $\hat K$ตามลำดับ
คำถาม:สมมติว่าพีชคณิตแสดงบนอวกาศฮิลเบิร์ตในลักษณะที่สเปกตรัมของแฮมิลตันคนใดคนหนึ่ง$H$มีขอบเขตล่าง นี่หมายความว่าสเปกตรัมของแฮมิลตันอื่น ๆ หรือไม่$\hat H$ ยังมีขอบเขตล่าง (ในการแสดงพื้นที่ฮิลเบิร์ตเดียวกัน)?$^\dagger$
ฉันไม่ได้มองหาหลักฐานที่กันน้ำเป็นเพียงข้อโต้แย้งที่น่าสนใจ - บางอย่างชัดเจนเพียงพอที่ฉันจะตรวจสอบแต่ละขั้นตอนในทฤษฎีสนามฟรี
อย่างไรก็ตามในกรณีนี้ไม่คุ้นเคย: ความหนาแน่นของแฮมิลตันไม่จำเป็นต้องเป็นบวกแน่นอนในทฤษฎีสนามควอนตัมไม่ใช่แม้กระทั่งในการแสดงที่แฮมิลตันเองมีค่าแน่นอนในเชิงบวก ดู Fewster (2005) "Energy Inequalities in Quantum Field Theory",https://arxiv.org/abs/math-ph/0501073ซึ่งระบุว่า (หน้า 2):
สนามควอนตัมเป็นที่รู้กันมานานแล้วว่าละเมิดเงื่อนไขพลังงานแบบชี้จุดทั้งหมด [4] และในหลาย ๆ แบบจำลองความหนาแน่นของพลังงานไม่ได้ถูกผูกไว้จากด้านล่างในระดับของสถานะที่เหมาะสมทางกายภาพ
$^\dagger$ คำถามที่หมายถึงวิธีการผู้ประกอบการที่มีการแสดงบนพื้นที่ Hilbert ที่สำคัญเพราะว่า$H$โดยทั่วไปจะไม่มีขอบเขตต่ำกว่าในการเป็นตัวแทนพื้นที่ส่วนใหญ่ของฮิลเบิร์ตแม้ว่าจะเป็นหนึ่งในนั้นก็ตาม เงื่อนไขสเปกตรัมเป็นคุณสมบัติของการแสดงพื้นที่เฉพาะของฮิลเบิร์ตไม่ใช่แค่คุณสมบัติของพีชคณิตนามธรรมของสิ่งที่สังเกตได้
คำตอบ
คำตอบคือไม่และเป็นเรื่องที่น่าขันตัวอย่างที่ฉันใช้เพื่อกระตุ้นให้เกิดคำถามนั้นเป็นตัวอย่างที่ตอบโต้: สเปกตรัมของ Rindler Hamiltonian ไม่มีขอบเขตที่ต่ำกว่า
Rindler Hamiltonian สร้างการเพิ่มขึ้นในกาลอวกาศของ Minkowski นิพจน์ในรูปของเทนเซอร์พลังงานความเครียดแสดงในสมการ (25) ใน
- จาค็อบสัน, "หลุมดำและการแผ่รังสีฮอว์คิงในกาลอวกาศและสิ่งที่คล้ายคลึงกัน", https://arxiv.org/abs/1212.6821
การแสดงออกนั้นทำให้ชัดเจนว่า Rindler Hamiltonian ไม่สามารถมีขอบเขตที่ต่ำกว่าได้
ในการมองย้อนกลับสิ่งนี้ชัดเจนโดยสมมาตร การผกผันของการเพิ่มจะเหมือนกับการเพิ่มที่รวมกับการสะท้อนเชิงพื้นที่ การสะท้อนเชิงพื้นที่ไม่ได้เปลี่ยนสเปกตรัม แต่การผกผันจะพลิกสัญลักษณ์ของสเปกตรัม วิธีเดียวที่จะเหมือนกันคือถ้าสเปกตรัมสมมาตรประมาณศูนย์ ดังนั้นหากสเปกตรัมไม่มีขอบเขตบนก็จะไม่มีขอบเขตล่างเช่นกัน
หมายเหตุ:
กระดาษของ Jacobson (อ้างถึงด้านบน) พิจารณาเฉพาะHamiltonian บางส่วนที่ได้จากการรวม "Rindler wedge" เข้าด้วยกัน แต่พื้นผิวการรวมนั้นไม่ใช่พื้นผิว Cauchy หากต้องการดู Hamiltonian แบบเต็มบนพื้นผิว Cauchy เราจำเป็นต้องพิจารณาเวดจ์ด้านซ้ายและขวาของ Rindler ด้วยกันจากนั้นจะเห็นได้ว่า Hamiltonian แบบเต็มไม่สามารถมีขอบเขตล่าง
ระวังว่าวรรณกรรม Unruh บางเรื่องกำหนดชื่อ "สถานะสุญญากาศ" ใหม่โดยปริยายเพื่อให้มีความหมายแตกต่างจาก "สถานะพลังงานต่ำสุด"
สำหรับการวิเคราะห์รายละเอียดปลีกย่อยบางอย่างอย่างรอบคอบโปรดดู Requardt, "The Rigorous Relation between Rindler and Minkowski Quantum Field Theory in the Unruh Scenario", https://arxiv.org/abs/1804.09403
ใน QFT (ทฤษฎีสนามควอนตัม) ความหนาแน่นของ Lagrangian $\mathcal L$ถูกสร้างขึ้นให้เป็นค่าคงที่ของลอเรนซ์ จาก Lagrangian คุณสร้างความหนาแน่นของชาวแฮมิลตัน$\mathcal H$ซึ่งขอให้เป็นบวกแน่นอน
หากคุณเปลี่ยนระบบอ้างอิงอย่างเป็นทางการ Lagrangian จะไม่เปลี่ยนแปลงดังนั้น Hamiltonian จะไม่เปลี่ยนเช่นกัน ดังนั้นความชัดเจนในเชิงบวกของ Hamiltonian จะยังคงอยู่แม้ว่าจะใช้กับฟิลด์ที่ถูกแปลง
สมมติว่าคุณสามารถเริ่มเครื่องดูดฝุ่น Minkowski ได้ $(H-E_{\Omega})|{\Omega}\rangle=0$. จากนั้นสำหรับเวกเตอร์การฆ่าที่เหมือนเวลาใด ๆ (ซึ่งผมจะคิดว่าเป็นการระบุเส้นโค้งแบบเวลาหรือผู้สังเกตการณ์ที่เร่งความเร็ว) เราสามารถถามว่ามีสุญญากาศหรือไม่ พื้นที่ในพื้นที่ซึ่งกำหนดฟิลด์สังหารสามารถใส่ในรูปแบบของพิกัด Rindler กล่าวอีกนัยหนึ่งในแต่ละช่วงเวลาที่เหมาะสมเรารู้ว่าความเร่งคืออะไรและความแปรปรวนร่วมทั่วไปจะบอกคุณว่าฟิสิกส์ในพื้นที่ก็เหมือนกับอวกาศมิงโควสกี ดังนั้นเครื่องดูดฝุ่น Minkowski สำหรับผู้สังเกตการณ์นี้ควรมีลักษณะเป็นสถานะความร้อนอาจมีอุณหภูมิที่แตกต่างกัน กล่าวอีกนัยหนึ่งผู้สังเกตการณ์ที่เร่งความเร็วมักจะมองเห็นขอบฟ้าที่มีประสิทธิภาพซึ่งสามารถกำหนดอุณหภูมิได้ดังนั้นคำถามของคุณควรได้รับคำตอบจากเอฟเฟกต์ Unruh