ตั้งเป็นกลุ่มหรือเปล่า?

Question

ปล่อย $A$ เป็นชุดที่ไม่ว่างเปล่า $+$ คือการดำเนินการไบนารีที่เชื่อมโยงและสำหรับแต่ละ $a$ ใน $A$ทั้งสองแผนที่

1. $A \to A$ ที่ส่ง $x$ ถึง $x+a$
2. $A \to A$ ที่ส่ง $x$ ถึง $a+x$

เป็นแผนที่เชิงอคติ คำถามคือกำหนดว่า$(A, +)$ กลุ่มหรือไม่?

ฉันเข้าใจว่า $A$ เป็นกลุ่มถ้ามีตัวตนและทุกองค์ประกอบมีผกผัน แต่ฉันไม่ค่อยแน่ใจว่าจะใช้แผนที่ทางชีวภาพเหล่านี้เพื่อพิสูจน์ / หักล้างได้อย่างไร $A$ เป็นกลุ่ม

Answer 1

องค์ประกอบที่เป็นกลาง (เอกลักษณ์)

แก้ไของค์ประกอบตามอำเภอใจ $a$. ตั้งแต่แผนที่$x \to a + x$ เป็น bijective องค์ประกอบ $a$ มี preimage เพียงภาพเดียวภายใต้แผนที่นี้กล่าวคือมีองค์ประกอบเฉพาะ $e$ ดังนั้น $a + e = a$.

ขั้นตอนต่อไปคือการพิสูจน์ $\forall y: y + e = y$. เลือกตามอำเภอใจ$y$. ตาม bijectivity ของแผนที่$x \to x + a$ มีไฟล์ $x$ ดังนั้น $x + a = y$. ตอนนี้กำลังเพิ่ม$x$ ทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกัน $a + e = a$ (และใช้การเชื่อมโยง) เราได้รับ $y + e = y$, qed.

ดังนั้น, $e$เป็นองค์ประกอบที่เป็นกลางที่เหมาะสม จากนั้นสังเกตว่า$e + e = e$และโดยอาร์กิวเมนต์เดียวกันกับด้านบน $e$ ยังเป็นองค์ประกอบที่เป็นกลางด้านซ้าย

ผกผัน

ในที่สุดเราจำเป็นต้องพิสูจน์การมีอยู่ของการผกผัน เลือกตามอำเภอใจ$x$. โดยการคาดเดาของการเพิ่มซ้ายและขวามีองค์ประกอบอยู่$y_1$ และ $y_2$ ดังนั้น $y_1 + x = e$ และ $x + y_2 = e$. ตอนนี้สังเกตว่า

$$ y_1 = y_1 + e = y_1 + (x + y_2) = (y_1 + x) + y_2 = e + y_2 = y_2. $$

ดังนั้น, $y_1$ (ซึ่งก็คือ $y_2$) เป็นค่าผกผันสำหรับ $x$.

Answer 2

ต้องมีองค์ประกอบเอกลักษณ์เฉพาะ:

มีความเป็นเอกลักษณ์ $e_a$ แต่ละ $a$ ดังนั้น $ae_a=a$.

ตอนนี้โดยการที่ไม่ซ้ำกัน $c$ ดังนั้น $ca=b$เราเข้าใจแล้ว $cae_a=be_a$ และเช่นกัน $cae_a=ca=b$, ดังนั้น $be_a=b$ และด้วยเหตุนี้ $e_a=e_b$.

ดังนั้นเราจึงมีค่าผกผันสิทธิเฉพาะ ในทำนองเดียวกันมีการผกผันซ้ายที่ไม่ซ้ำกัน ตอนนี้เราต้องแสดงว่าทั้งสองเท่ากัน แต่นั่นเป็นเรื่องง่ายเนื่องจาก$e_le_r=e_r=e_l$.

ตอนนี้ bijectivity แสดงว่าต้องมีเอกลักษณ์ $x_a$ ดังนั้น $ax_a=e$. และในทำนองเดียวกันก็มีเอกลักษณ์$y_a$ ดังนั้น $y_aa=e$. แต่แล้ว$y_aax_a=x_a=y_a$.

ดังนั้นเราจึงได้พบกับเงื่อนไขสี่ประการสำหรับกลุ่มหนึ่งเนื่องจากการปิดและการเชื่อมโยงเป็นหลัก

Answer 3

อย่างน้อยก็เพื่อ จำกัด $A$ใช่นั่นเพียงพอที่จะมีกลุ่ม

โทร $\theta_a$ และ $\gamma_a$ตามลำดับแผนที่การแปลด้านซ้ายและขวาโดยองค์ประกอบคงที่ $a\in A$. ตอนนี้โดยการสันนิษฐาน$\theta_a,\gamma_a\in \operatorname{Sym}(A)$ และ (การเชื่อมโยง) $\theta_a\theta_b=\theta_{ab}$. ดังนั้น (ปิด)$\{\theta_a, a \in A\}\le \operatorname{Sym}(A)$และด้วยเหตุนี้ $\exists \tilde e\in A$ ดังนั้น $\theta_{\tilde e}=Id_A$. ในทำนองเดียวกันการเป็น$\gamma_a\gamma_b=\gamma_{ba}$, $\exists \hat e\in A$ ดังนั้น $\gamma_{\hat e}=Id_A$; แต่$\tilde e=\tilde e\hat e=\hat e$ และด้วยเหตุนี้อัตลักษณ์ด้านซ้ายและด้านขวาจึงตรงกัน $e:=\tilde e=\hat e$.

ตอนนี้ตั้งแต่ $\theta_a,\gamma_a\in \operatorname{Sym}(A)$แล้ว $\exists(!) \tilde b,\hat b \in A$ ดังนั้น $\theta_a(\tilde b)=\gamma_a(\hat b)=e$ หรือเทียบเท่า $a\tilde b=\hat ba=e$; จากหลังนี้เราจะได้รับเช่น $\hat ba=a\hat b$, เพราะอะไร $a\tilde b=a\hat b$ หรือเทียบเท่า $\theta_a(\tilde b)=\theta_a(\hat b)$, และในที่สุดก็ $\tilde b=\hat b=:a^{-1}$.