ถ้า $\int\limits_a^bf(x)dx=0$ สำหรับตัวเลขที่มีเหตุผลทั้งหมด $a<b$แล้ว $f(x)=0$ ae [ซ้ำ]

Question

ปล่อย $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$เป็นฟังก์ชันที่รวมได้
แสดงว่าถ้า$\int\limits_a^bf(x)dx=0$ สำหรับตัวเลขที่มีเหตุผลทั้งหมด $a<b$แล้ว $f(x)=0$ ทุกที่มากที่สุด

คำแนะนำ:พิสูจน์ก่อน$\int\limits_Af=0$ สำหรับ $A$ ชุดเปิดแล้วสำหรับ $A$ วัดผลได้

ความพยายามของฉัน: ให้ $A$ ชุดเปิดใน $\mathbb{R}$. จากนั้นเราสามารถเขียน$A=\bigcup\limits_{k}(a_k,b_k)$ ที่ไหน $\left\{(a_k,b_k)\right\}_{k=1}^{\infty}$เป็นคอลเลกชันที่ไม่ปะติดปะต่อกันของช่วงเวลาที่เปิดอยู่โดยมีจุดสิ้นสุดที่มีเหตุผล (เป็นไปได้หรือไม่)

ดังนั้น $\int\limits_Afdx=\int\limits_{\bigcup\limits_{k}(a_k,b_k)}fdx=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\int\limits_{a_k}^{b_k}fdx=0$

แล้วฉันจะใช้ผลลัพธ์เพื่อวัดผลได้อย่างไร $A$ และยิ่งกว่านั้นหลังจากทำเช่นนั้นแล้ว $\int\limits_{\mathbb{R}}f=0$ หมายถึง $f=0$เอ๋?
ขอบคุณที่คุณช่วย

Answer 1

ฉันคิดว่ามันเป็นเรื่องง่าย ปล่อย$A=\{x:f(x)\not=0\}$ $B=\{x:f(x)=0\}$

$\mu (D)$ คือหน่วยวัดที่ตั้งไว้ $D$. พวกเรารู้$\mu (A)=0$ และ $\mu (B)=b-a$. Lebesgue อินทิกรัล:$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{A} f(x)d\mu+\int_{B} f(x)d\mu=0$ เพราะ $\int_{A} f(x)d\mu=0$( เพราะ $f(x)=0$ เกือบทุกที่) และ $\int_{B} f(x)d\mu=0$

Answer 2

คุณสามารถใช้กลอุบายแบบคลาสสิกในการกำหนดคอลเล็กชันได้

$$ \mathcal{E}:=\{ A\in \mathcal{B}_\mathbb{R}: \int_A fdx=0 \}, $$

แล้วแสดงว่า $\mathcal{E}=\mathcal{B}_\mathbb{R}$. ตั้งแต่$f$ สามารถวัดผลได้ผลลัพธ์สุดท้ายที่ต้องการจะตามมาเพราะอย่างอื่น $\pm \int_{B_\pm} fdx>0$ ที่ไหน $B_\pm=\{x\in\mathbb{R}: \pm f(x)>0\}$.

คุณสามารถตรวจสอบได้ในภายหลัง $\mathcal{E}$ คือ $\sigma$- พีชคณิตดังนั้นถ้าคุณแสดงให้เห็น $A\in \mathcal{E}$ สำหรับชุดเปิดใด ๆ $A$ก็จะเป็นไปตามนั้น $\mathcal{E}=\mathcal{B}_\mathbb{R}$.

ในที่สุดเนื่องจากช่วงเวลาที่มีจุดสิ้นสุดที่มีเหตุผลเป็นพื้นฐานที่นับได้ของโทโพโลยีบน $\mathbb{R}$สำหรับการเปิดใด ๆ $A\subseteq \mathbb{R}$ มีชุดของช่วงเวลาที่มีจุดสิ้นสุดที่มีเหตุผล $\{ (a_k,b_k) \}_{k=1}^\infty$ ดังนั้น $A=\cup (a_k,b_k)$. เมื่อใช้ DCT คุณจะได้รับสิ่งนั้น$\int_A f =0$.