ถ้า $\widehat{M}$ ฟรี $\widehat{R}$- โมดูลของอันดับ $n$ แล้ว $M$ มีชุดการสร้างของ $n$ องค์ประกอบเป็นไฟล์ $R$-โมดูล.

Aug 18 2020

โดยอ้างอิงถึงคำถามสุดท้ายของฉันถ้า$\widehat{M}$ ฟรี $\widehat{R}$- โมดูลแล้ว $M$ ฟรี $R$-โมดูล, $R$คือแหวน Zariski ฉันต้องการถามคำถามต่อไปนี้

ปล่อย $R$ เป็นแหวน Zariski ด้วย $I$โทโพโลยี -adic $I \subset J(R)$. ปล่อย$M$ สร้างขึ้นอย่างประณีต $R$- โมดูลดังกล่าวที่ $I$เสร็จสิ้น -adic $\widehat{M}$ ฟรี $\widehat{R}$- โมดูลของอันดับ $n$. แล้วฉันจะแสดงให้เห็นได้อย่างไร$M$ มีชุดการสร้างของ $n$ องค์ประกอบเป็นไฟล์ $R$-โมดูล.

ฉันต้องการความช่วยเหลือ.

คำตอบ

2 MaximeRamzi Aug 17 2020 at 22:37

พิจารณา $n$ เครื่องกำเนิดไฟฟ้าของ $\widehat M$, $x_1,...,x_n$.

ปล่อย $y_1,...,y_n$ แสดงภาพของพวกเขาในรูปแบบ $M/IM$. จากนั้น$y_1,...,y_n$ สร้าง $M/IM$.

อันที่จริง $\widehat M\to M/IM$ เป็นการคาดเดา ($M\to \widehat M\to M/IM$ เป็นการคาดเดา) ดังนั้นถ้า $z\in M/IM$, ปล่อย $w$ ก่อนหน้านี้ $w= \sum_i \lambda_i x_i$ บอกเป็นนัยว่า $z =\sum_i \mu_i y_i$กับ $\mu_i$ ภาพของ $\lambda_i$ ภายใต้ $\widehat R\to R/I$.

แต่ตอนนี้ตั้งแต่ $I\subset J(R)$คำนามของ Nakayama บอกคุณว่าสิ่งที่เกิดขึ้นก่อนหน้านี้ของ $y_1,...,y_n$ สร้าง $M$ (ที่นี่ใช้สมมติฐานว่า $M$ ถูกสร้างขึ้นอย่างแน่นอน)