ทำความเข้าใจเกี่ยวกับการต่างตอบแทนของ Frobenius

Question

ฉันพยายามที่จะเข้าใจข้อพิสูจน์ของโจทย์ต่อไปนี้:

ปล่อย $\pi$ เป็นตัวแทนที่ไม่สามารถวัดได้ของ $G=GL_2$. จากนั้นสิ่งต่อไปนี้จะเทียบเท่า:

• $\pi$ เทียบเท่ากับสเปซย่อยของ $Ind_B^G \chi$ สำหรับตัวละคร $\chi$ ของ $T$ ;
• $\pi$ มีอักขระเล็กน้อยของ $N$.

ที่นี่เราใช้สัญกรณ์ปกติ: $B$ Borel มาตรฐานของเมทริกซ์สามเหลี่ยมด้านบน $N$ เมทริกซ์สามเหลี่ยมด้านบนที่มีอำนาจเดียวและ $T$ พรูของเมทริกซ์แนวทแยง

มีการกล่าวถึงว่านี่เป็นผลพวงง่ายๆของ Frobenius Reciprocity แต่ฉันไม่เข้าใจว่ามันเข้ามามีบทบาทอย่างไร

Answer 1

ฉันคิดว่าคุณกำลังพูดถึงกลุ่ม จำกัด และการแสดงที่ซับซ้อนของพวกเขา

โดย Frobenius $Hom_N (1, \pi) \cong Hom_G (Ind^G _N 1, \pi)$ ความสัมพันธ์ซึ่งกันและกันเรารู้ เรารู้ด้วยว่า$Ind^G _N 1 \cong \sum_\chi Ind^G _B \chi$นี่เป็นการพิสูจน์ข้อเรียกร้อง

Answer 2

สิ่งที่คุณกำลังอธิบายคือการเหนี่ยวนำและข้อ จำกัด ของ Harish-Chandra ถ้า$\psi$ เป็นลักษณะของ $T$, เขียน $R_T^G(\psi)$ สำหรับ $\psi$ สูงเกินจริงถึง $B$แล้วชักนำให้ $G$. ในทางกลับกันถ้า$\chi$ เป็นลักษณะของ $G$, เขียน ${}^*R_T^G(\chi)$ สำหรับอักขระที่ได้รับก่อนโดย จำกัด ที่ $B$จากนั้นรับพื้นที่ย่อยของช่องว่างนี้ซึ่งได้รับการแก้ไขโดยกลุ่มย่อยที่มีอำนาจเดียว $U$. สิ่งนี้จะกลายเป็นตัวละครสำหรับ$T$.

ความปรองดองของ Frobenius ใช้กับอักขระใด ๆ ของ $G$ และอักขระใด ๆ ของ $T$, ผลตอบแทน $\langle R_T^G(\psi),\chi\rangle=\langle \psi,{}^*R_T^G(\chi)\rangle$. หากต้องการดูการแจ้งเตือนนี้ว่าเราไม่สนใจข้อ จำกัด ของ HC ตัวอักษรทั้งหมดที่ไม่ได้ขยายออกจากพรู ด้วยประการฉะนี้$$\langle \psi,{}^*R_T^G(\chi)\rangle=\langle \psi,\chi{\downarrow_B}\rangle=\langle \psi,\chi{\downarrow_T}\rangle,$$ ที่ไหน $\downarrow$ คือข้อ จำกัด มาตรฐาน

ในทางกลับกันการเหนี่ยวนำ HC เป็นเพียงการเหนี่ยวนำมาตรฐานจาก Borel แต่สำหรับอักขระบางตัวเท่านั้น ในกรณีนี้$\langle R_T^G(\psi),\chi\rangle=\langle \psi\uparrow^G,\chi\rangle$. ดังนั้นการแลกเปลี่ยนซึ่งกันและกันของ Frobenius จึงเสร็จสิ้นการพิสูจน์

ถ้า $\pi$ มีอักขระเล็กน้อยของ $N$แล้ว $\pi$ มี (อัตราเงินเฟ้อของ) ลักษณะของ $T$ ในข้อ จำกัด ของ $B$. ดังนั้นข้อ จำกัด ของ Harish-Chandra จึงไม่ใช่ศูนย์ ปล่อย$\chi$เป็นหนึ่งในองค์ประกอบของมัน จากนั้นการเหนี่ยวนำ HC ของ$\chi$ ต้องรวม $\pi$ ตามข้อความข้างต้น