ทำไมไม่เปลี่ยนตัวใหญ่มาก $n$ เป็น $(1+1/n)^n$ ให้ค่าใกล้เคียงกับหมายเลขของออยเลอร์ $e$เหรอ?

Aug 18 2020

อยากสอบถามว่าออยเลอร์เบอร์อะไร $e$เหรอ? ฉันไม่เข้าใจมัน

สิ่งที่ฉันรู้:

  • $e$ คือ $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ เช่น $n$ ถึงไม่มีที่สิ้นสุด

  • $e$ คือ $2.718281828\ldots$

คำถาม:

ถ้าฉันใส่ $n = 1\ 000\ 000\ 000\ 000$, ฉันเข้าใจ $2.718523496\ldots$ซึ่งสูงกว่า $2.718281828\ldots$.

ถ้าฉันไปและป้อนข้อมูล $n = 1\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000$, ฉันเข้าใจ $3.035035207\ldots$ ซึ่งสูงกว่า $2.718281828\ldots$.

ฉันคิดว่าฉันพลาดอะไรบางอย่างหรือฉันทำพลาด

ฉันเข้าใจสูตรผิดหรือเปล่า? คือสูตรและ$2.718281828$ เหนือเพียงการประมาณ?

ฉันขอขอบคุณคำอธิบายคำชี้แจงและการแก้ไขใด ๆ :)

ขอบคุณมากที่สละเวลา!

คำตอบ

3 AnginaSeng Aug 19 2020 at 02:17

นี่คือการวิเคราะห์ข้อผิดพลาด ถ้า$$a_n=\left(1+\frac1n\right)^n$$ แล้ว $$\ln a_n=n\ln\left(1+\frac1n\right)=n\left(\frac1n-\frac1{2n^2}+\frac1{3n^3}-\cdots\right)=1-\frac1{2n}+\frac1{3n^2}-\cdots.$$ สำหรับขนาดใหญ่ $n$, $\ln a_n$ อยู่ใกล้มาก $$1-\frac1{2n}$$ และอื่น ๆ $a_n$ อยู่ใกล้กับ $$e\exp(-1/(2n))=e\left(1-\frac1{2n}+\frac1{8n^2}-\cdots\right).$$ จริงๆแล้ว $1/(8n^2)$ คำที่นี่เป็นเรื่องปลอมเนื่องจากฉันละเลยไฟล์ $1/(3n^2)$ ระยะในการขยายตัวของ $\ln a_n$. แต่ประมาณการคร่าวๆของ$a_n$ คือว่า $$a_n\approx e-\frac{e}{2n}.$$ ข้อผิดพลาดแย่กว่าเล็กน้อย $1/n$.

การ $n=10^{12}$ พูดว่าคุณเข้าใจแล้ว $11$ ถึง $12$ตำแหน่งทศนิยมที่ถูกต้อง ข้อผิดพลาดที่คุณได้รับจากเครื่องคิดเลขไม่ต้องสงสัยเลยว่าเนื่องจากไม่มีความแม่นยำในการแสดงตัวเลขทศนิยม อาจunderflow

RossMillikan Aug 19 2020 at 02:54

คณิตศาสตร์ทศนิยมในคอมพิวเตอร์ไม่เหมือนกับการคำนวณทางคณิตศาสตร์จริง ย้อนกลับไปเมื่อเราใช้$32$ บิตลอยซึ่งให้เท่านั้น $23$ บิตของแมนทิสซาประมาณ $7.2$ตัวเลขทศนิยมเป็นปัญหาที่ทุกคนกังวลและส่วนใหญ่ของหลักสูตรการวิเคราะห์ตัวเลขจะเน้นไปที่การหลีกเลี่ยงปัญหาของความแม่นยำของตัวเลข ตอนนี้ที่ลอยอยู่$64$ บิตด้วย $53$บิตของ mantissa ปัญหาลดลงอย่างมาก แต่ก็ยังมีปัญหาได้ เมื่อคุณเพิ่มพลังเล็กน้อยคุณสามารถนึกถึง$(1+\frac 1n)^n=e^{(\log(1+\frac 1n)n)}$ และขยาย $\log(1+\frac 1n)$ ในซีรีส์ Taylor