ตรรกะของคำจำกัดความที่แม่นยำของขีด จำกัด ?
ฉันเป็นนักศึกษามหาวิทยาลัยที่เรียนแคลคูลัสจากโทมัส ตอนนี้ฉันกำลังเรียนรู้คำจำกัดความที่แม่นยำของขีด จำกัด โดยใช้วิธี epsilon delta เพื่อใช้ในการพิสูจน์ ฯลฯ
ฉันสังเกตเห็นว่าเมื่อพิสูจน์ขีด จำกัด ของฟังก์ชันจะมีการกำหนดขีด จำกัด ก่อนจากนั้นจึงใช้วิธี epsilon delta แต่นี่ไม่เหมือนกับการวางเกวียนไว้หน้าม้า
เช่นบอกว่าฉันต้องพิสูจน์ขีด จำกัด ของ 5x-3 ที่ x-> 1 ดูเหมือนว่าคำสั่งที่กำหนดจะใช้กฎการแทนที่สำหรับพหุนามรับ 2 เป็นขีด จำกัด จากนั้นใช้วิธี epsilon delta เพื่อแสดงว่าขีด จำกัด อยู่ที่ 2 สิ่งนี้ทำให้ฉันสับสนเพราะไม่ควรขีด จำกัด เป็น 'Unknown 'ก่อนและใช้การพิสูจน์เพื่อให้ได้มาซึ่งขีด จำกัด เป็น 2 ฉันจะรู้ได้อย่างไรว่าในตอนแรกควรใช้ขีด จำกัด 2 เป็นจุดเริ่มต้น ลำดับตรรกะปรากฏย้อนหลังให้ฉัน
คำตอบ
ก่อนอื่นคุณต้องมีผู้สมัครที่เหมาะสม / การคาดเดาที่มีการศึกษาสำหรับขีด จำกัด ที่ควรจะเป็น จากนั้นหลังจากนั้นคุณสามารถใช้คำจำกัดความที่แม่นยำเพื่อพิสูจน์ว่าการคาดเดาเริ่มต้นของคุณเป็นเช่นนั้นจริง นอกจากนี้คุณจะเห็นว่านี่เป็นวิธีที่ดีที่สุดที่คุณสามารถทำได้ง่ายๆจากการให้คำจำกัดความของขีด จำกัด :
คำจำกัดความ
ปล่อย $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ เป็นฟังก์ชัน $a\in\Bbb{R}$. เราพูดว่า$f$ มีขีด จำกัด จำกัด ที่ $a$ ถ้ามีอยู่ $l\in \Bbb{R}$ เช่นนั้นสำหรับทุกๆ $\epsilon>0$, มีอยู่ $\delta>0$ เช่นนั้นสำหรับทุกคน $x\in\Bbb{R}$, ถ้า $0<|x-a|<\delta$ แล้ว $|f(x)-l|< \epsilon$.
(ในกรณีนี้เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า $l$ เป็นเอกลักษณ์และเราแสดงว่าเป็น $\lim_{x\to a}f(x)$)
สังเกตว่าคำจำกัดความเริ่มต้นด้วย "มีอยู่อย่างไร $l\in \Bbb{R} \dots$"จากวิธีที่เป็นวลีแสดงให้เห็นว่าก่อนที่จะตรวจสอบไฟล์ $\epsilon,\delta$ เกณฑ์คุณต้องมีค่าตัวเลือกสำหรับขีด จำกัด $l$. ไม่มีคำจำกัดความที่บอกอะไรคุณได้$l$ เป็นอย่างไรหรือจะคาดเดาสิ่งนี้ได้อย่างไร ("การคาดเดา" เป็นสิ่งที่คุณได้รับระหว่างทางเมื่อคุณเรียนรู้เพิ่มเติม)
ตัวอย่างเช่นหากคุณมีสองฟังก์ชัน $f$ และ $g$กับ $\lim\limits_{x\to a}f(x) = l_1$ และ $\lim\limits_{x\to a}g(x) = l_2$ถ้าสิ่งที่คุณทำคือจ้องไปที่นิยามของขีด จำกัด ไม่มีทางที่คุณจะบอกได้ $f+g$ ยังมีขีด จำกัด และขีด จำกัด เท่ากับ $l_1+l_2$. การคาดเดาตามธรรมชาติเพียงอย่างเดียวก็คือถ้า$f+g$ มีขีด จำกัด แล้วมันจะดีกว่า $l_1+l_2$.
จากนั้นเมื่อคุณเดาได้แล้วคุณก็ทำการพิสูจน์โดยใช้ค่าที่แม่นยำ $\epsilon,\delta$ นิยาม (โดยที่ปมของการพิสูจน์คืออสมการสามเหลี่ยม)