ตรวจสอบว่า $ \intop_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\sin\left(x+\frac{1}{x}\right) \mathrm{d}x$ มาบรรจบกัน

Question

ฉันต้องพิจารณาว่า $\displaystyle \int_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\sin\left(x+\frac{1}{x}\right) \mathrm{d}x$ มาบรรจบกัน / แตกต่าง

สัญชาตญาณของฉันคืออินทิกรัลมาบรรจบกันเพราะ $\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\sin\left(x\right)\mathrm{d}x$ มาบรรจบกันจากการทดสอบของ Dirichlet ดังนั้นการเพิ่ม $ \frac{1}{x} $ ไม่ควรมีความแตกต่างมากนักสำหรับ $ x\to\infty $.

ฉันเดาว่าวิธีที่ถูกต้องในการพิสูจน์คือการแสดงสิ่งนั้น $\displaystyle \int_{1}^{u}\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)\mathrm{d}x $ มีขอบเขตสำหรับใด ๆ $ u $จากนั้นฉันสามารถใช้การทดสอบของ Dirichlet ฉันพยายามแล้วและไม่สามารถพิสูจน์ได้

นอกจากนี้ฉันอยากได้ยินว่าคุณคิดอย่างไรเกี่ยวกับการพิสูจน์ของฉันว่าอินทิกรัล $ \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x $ มาบรรจบกัน

ฉันใช้การทดสอบเปรียบเทียบขีด จำกัด ด้วยวิธีต่อไปนี้:

$ \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\frac{|\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)|}{x^{0.5}}}{\frac{1}{x^{0.8}}}=0 $

และตั้งแต่นั้นมา $ 0.8 <1 $ อินทิกรัล $ \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{x^{0.8}}\mathrm{d}x $ มาบรรจบกันจึงเป็นอินทิกรัล $\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^{0.5}} \mathrm{d}x$ บรรจบกันอย่างแน่นอน

ฉันจะขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือที่นี่ ขอบคุณล่วงหน้า

Answer 1

เริ่มต้นด้วยสูตรการเพิ่มมุม:

$$\int_1^\infty{1\over\sqrt x}\sin\left(x+{1\over x}\right)\,dx=\int_1^\infty{1\over\sqrt x}\sin x\cos(1/x)\,dx+\int_1^\infty{1\over\sqrt x}\cos x\sin(1/x)\,dx$$

และสังเกตว่าอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมที่สองมาบรรจบกันตั้งแต่ $\sin(1/x)\lt1/x$ (สำหรับ $x\gt0$) และ $\int_1^\infty{1\over x^{3/2}}\,dx$มาบรรจบกัน ดังนั้นจึงยังคงแสดงให้เห็นว่าอินทิกรัลแรกที่ไม่เหมาะสมนั้นมาบรรจบกันด้วย

ในการดำเนินการนี้ให้ใช้การรวมโดยส่วนต่างๆด้วย $u=\cos(1/x)/\sqrt x$ และ $dv=\sin x\,dx$, ดังนั้น $du=(\sin(1/x)/x^{5/2}-\cos(1/x)/(2x^{3/2}))dx$ และ $v=-\cos x$:

$$\begin{align} \int_1^\infty{1\over\sqrt x}\sin x\cos(1/x)\,dx &={-\cos(1/x)\cos x\over\sqrt x}\Big|_1^\infty+\int_1^\infty{\sin(1/x)\cos x\over x^{5/2}}\,dx+\int_1^\infty{\cos(1/x)\cos x\over2x^{3/2}}\,dx\\ &=\cos^21+\int_1^\infty{\sin(1/x)\cos x\over x^{5/2}}\,dx+\int_1^\infty{\cos(1/x)\cos x\over2x^{3/2}}\,dx \end{align}$$

โดยที่ปริพันธ์ที่ไม่เหมาะสมสองประการสุดท้ายจะมาบรรจบกันอีกครั้ง

สำหรับอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมจาก $0$ ถึง $1$การพิสูจน์ของ OP นั้นใช้ได้ แต่ซับซ้อนกว่าที่จำเป็น ก็เพียงพอที่จะทราบว่า${|\sin(x+1/x)|\over\sqrt x}\le{1\over\sqrt x}$.

Answer 2

คุณอาจจะปล่อยให้ $x+\frac{1}{x}=z$ และรับ $$ \int_{1}^{+\infty}\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)\frac{dx}{\sqrt{x}}=\int_{2}^{+\infty}\sin(z)\underbrace{\frac{\sqrt{z+\sqrt{z^2-4}}}{\sqrt{2}\sqrt{z^2-4}}}_{g(z)}\,dz $$ ที่ไหน $g(z)$ มีพฤติกรรมเหมือน $\frac{C}{\sqrt{z-2}}$ ในละแวกที่ถูกต้องของ $z=2$ และมันกำลังลดลง $z>2$, ตั้งแต่ $$ g(2\cosh t) = \frac{e^{t/2}}{e^t-e^{-t}}=\sum_{n\geq 0}\exp\left(-\left(2n+\frac{1}{2}\right)t\right)$$ กำลังลดลงอย่างชัดเจน $\mathbb{R}^+$. ตามมาว่าคุณสามารถใช้คำหลักของ Dirichlet ที่นี่ได้เช่นกัน