ตอบสนองเชิงบวก $ \sum_{i=1}^{24} x_i = 1 $กำหนดปริมาณสูงสุดต่อไปนี้
ดังนั้นการตอบสนองเชิงบวกจึงตอบสนองสิ่งต่อไปนี้
$$ \sum_{i=1}^{24} x_i = 1 $$
และฉันต้องหาปริมาณสูงสุดต่อไปนี้
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i}\right) \left(\sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i} } \right) $$
ตอนนี้ฉันใช้อสมการ Cauchy Schwarz
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i}\right)^2 \leqslant \underbrace{(1+1+\cdots + 1)}_{\text{24 times}} \left( \sum_{i=1}^{24} x_i \right) $$
นี่นำไปสู่
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i}\right) \leqslant \sqrt{24} $$
ฉันติดอยู่กับส่วนอื่น ฉันสามารถรับขั้นต่ำต่อไปนี้โดยใช้เทคนิคที่คล้ายกัน
$$ \left(\sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i} } \right) $$
แต่ฉันต้องมีปริมาณสูงสุดนี้เพื่อที่ฉันจะได้รวมสองอย่างนี้ คำแนะนำใด ๆ จะช่วยได้
คำตอบ
เราสามารถผูกผลรวมที่สองได้ดังนี้ การใช้อสมการ Cauchy-Schwarz เรามีดังต่อไปนี้
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right)^2 \leqslant \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right)\underbrace{(1+1+\cdots +1)}_{\text{24 times}} $$
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right)^2 \leqslant 24 \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right) \, \cdots \cdots \cdots(1) $$
ตอนนี้ฉันจะใช้อสมการของเฮิลเดอร์
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right)^{1/2} \left( \sum_{i=1}^{24} (1+x_i) \right)^{1/2} \leqslant \left[ \sum_{i=1}^{24} \left(\frac{1}{\sqrt{1+x_i}}\right) \left(\sqrt{1+x_i}\right) \right] $$
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right)^{1/2} \sqrt{25} \leqslant 24 $$
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right) \leqslant \frac{24^2}{25} $$
$$ 24 \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right) \leqslant \frac{24^3}{25} $$
ดังนั้นการรวมกับสมการ $(1)$, ฉันเข้าใจ,
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right)^2 \leqslant \frac{24^3}{25} $$
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right) \leqslant \frac{24^{3/2}}{5} $$
ในที่สุดการรวมสองจำนวนเข้าด้วยกันฉันได้รับ
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i} \right) \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right) \leqslant \sqrt{24} \,\frac{24^{3/2}}{5} $$
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i} \right) \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right) \leqslant \frac{24^{2}}{5} $$
หวังว่าจะช่วยได้