USATST 2013/2 พิสูจน์จุดตัดของ $XL$ และ $KY$ นอนลง $BC$.

Question

ปล่อย $ABC$เป็นสามเหลี่ยมเฉียบพลัน วงกลม$\omega_1$มีเส้นผ่านศูนย์กลาง $AC$ตัดกันด้านข้าง $BC$ ที่ $F$ (นอกเหนือจากนี้ $C$). วงกลม$\omega_2$มีเส้นผ่านศูนย์กลาง $BC$ตัดกันด้านข้าง $AC$ ที่ $E$ (นอกเหนือจากนี้ $C$). เรย์$AF$ ตัดกัน $\omega_2$ ที่ $K$ และ $M$ ด้วย $AK < AM$. เรย์$BE$ ตัดกัน $\omega_1$ ที่ $L$ และ $N$ ด้วย $BL < BN$. พิสูจน์ว่าเส้น$AB$, $ML$, $NK$ พร้อมกัน

ความคืบหน้าของฉัน :

อ้างสิทธิ์ :$K,M,L,N$ เป็นวงจร

หลักฐาน : ให้$NM\cap KL=H$. โปรดทราบว่า$H$ จะเป็นจุดศูนย์กลางของ $ABC$ .

โดย POP $NH\cdot HM= CH\cdot CF=KH\cdot HL$.

อ้างสิทธิ์ :$C$ เป็นศูนย์กลางของ $(KMLN)$

หลักฐาน : ตั้งแต่$CA$ คือ diametre เรามี CA เป็นเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของ $LN$ .

ในทำนองเดียวกัน $CB$ คือเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของ $KM$ .

---

ตอนนี้ฉันแค่อยากจะแสดงให้เห็นว่า AB คือขั้วของ $H$ WRT $(KLMN)$. จากนั้นด้วยทฤษฎีบทของโบรการ์ดฉันก็รู้$NK\cap LM \in AB $.

Answer 1

มันเพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่าขั้วของ $H$ ผ่าน $A$ เช่นเดียวกับ $B$. ตามความสมมาตรก็เพียงพอที่จะแสดงขั้วของ$H$ ผ่าน $A$ หรือเทียบเท่าขั้วของ $A$ ผ่าน $H$.

คุณรู้ขั้วของ $A$ ตั้งฉากกับ $AC$

สังเกตว่า $$AC.AE=AK.AM= AC^2-r^2$$ ที่ไหน $r$ คือรัศมีของวงกลม $KLMN$.

เขียนใหม่เป็น $$AC^2-r^2= AC.(AC-EC)$$ $$ \implies AC.EC=r^2$$

ดังนั้นขั้วของ $A$ WRT $KLMN$ คือเส้นที่ตั้งฉากกับ $AC$ และผ่านไป $E$. กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือเส้น$BE$ และด้วยเหตุนี้จึงผ่านไป $H$.

หมายเหตุ: อาจมีความแตกต่างระหว่างการติดฉลากในคำถามและในแผนภาพ คำตอบของฉันเป็นไปตามฉลากของแผนภาพ